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(Latín medieval álgebra, del árabe al-djabr, reducción)
Rama de las matemáticas que, en su parte clásica, se dedica a la resolución mediante fórmulas explícitas de ecuaciones algebraicas y, en su parte moderna, estudia estructuras (grupos, anillos, campos, ideales) y se amplía con álgebras lineales, multilineales y topológicas. álgebra.
Si bien la disciplina es una de las más antiguas, la palabra álgebra solo volvería a ixy s., procedente del término árabe al-djabr. Usada en un tratado del matemático al-Khārezmī, esta palabra designa un proceso de cálculo que consiste en sumar el mismo número a ambos miembros de una igualdad. Nacida de algunos de los procesos más simples, el álgebra posteriormente se volvió más compleja, impregnando todas las ramas de las matemáticas. Además, el estudio de las estructuras algebraicas permitió organizar los diversos objetos matemáticos y estructurar sus conjuntos.
Objetos de estudio y diferentes ramas
El álgebra ha experimentado dos tendencias sucesivas: la era clásica, luego la llamada era “moderna”. El álgebra clásica encuentra su origen en el cálculo numérico, una generalización de la aritmética. Dedicado a la resolución de ecuaciones algebraicas, se centra en el estudio de las operaciones y sus propiedades. Gracias a la geometría, seguirá abstrayéndose del aspecto numérico con la noción de espacio vectorial.
El álgebra moderna se constituye con, en la base, el teoría de conjuntos, considerados de acuerdo con las leyes de composición definidas en ellos, y el surgimiento de estructuras algebraicas (grupo, anillo, etc.), que serán estudiados independientemente de sus realizaciones concretas. La búsqueda de estructuras se convierte en una de las principales preocupaciones del álgebra: al dar la posibilidad de liberarse de los casos particulares, las estructuras permiten resolver grandes familias de problemas. Así se hace posible construir álgebra a partir de un pequeño número de propiedades, transportables dentro de la misma estructura, sin necesidad de volver a demostrarlas. El álgebra moderna se amplía con álgebras lineales y multilineales, con la estructura fundamental del espacio vectorial, y con álgebra topológica (espacios normados, espacios vectoriales topológicos, etc.).
la historia del algebra
Desde la antigüedad hasta xviiiy s.
El álgebra existe, desde el IIy milenio antes de nuestra era, entre los babilonios, o, hacia el iiiy–IVy s. AD, con Diofanto, que desarrolla la noción de incógnita y propone cálculos con números racionales positivos. Sin embargo, esta influencia sólo se sentirá en Occidente a partir de la XVIy s., tras su paso por India y países islámicos. Tartaglia y J. Cardan resuelven ecuaciones de tercer y cuarto grado, mientras que R. Bombelli crea una primera forma de números complejos. F. Viète fundó el cálculo literal introduciendo la representación simbólica de cantidades por letras.
En 1637, Descartes aplicó este cálculo a problemas geométricos, creando así el geometría analítica; establece el principio de que una ecuación algebraica tiene tantas raíces como unidades tiene su grado. D’Alembert especifica estas nuevas nociones en su «teorema fundamental del álgebra» (1746). Gauss, sobre una idea de este último, da la primera demostración completa (1799).
xixy y XXy s.
Con W. R. Hamilton aparece, en 1843, una primera álgebra no conmutativa, basado en cuaterniones. La teoría de los números lleva al álgebra a nuevas concepciones. La noción de grupo, debido a É. Galois (1830), toma una extensión considerable con la obra de C. Jordan, mientras que F. Klein y S. Lie la generalizan. E. Kummer llega a la nueva noción de número ideal, que será aclarado y sistematizado por Dedekind (1871). Hacia el final de xixy s., estos trabajos conducirán a la teoría de los campos numéricos algebraicos de Hilbert.
El concepto deespacio vectorial se relaciona por su parte con las obras de Hamilton, Möbius o Grassmann. los determinantes, conocido desde xviiiy s. en la obra de G. Cramer, no entran en uso común hasta C. Jacobi (1841). A. Cayley, entre otros, desarrolla la teoría de invariantes y fundó en 1858 la cálculo matricial. Todas las áreas de las matemáticas (geometría, teoría de funciones, lógica, etc.) están invadidas por procesos algebraicos.
Así, el álgebra de la lógica, creada simultáneamente por G. Boole y A. De Morgan en 1847, se basa en la idea de que las fórmulas algebraicas pueden expresar relaciones lógicas entre conceptos: en la disyunción y en la conjunción de conceptos corresponden respectivamente a la suma y multiplicación de números.
Después de Dedekind y Hilbert, la tendencia de XXy s. será a la progresiva axiomatización del álgebra, debida, en particular, a E. Artin y E. Noether. I’álgebra abstracta aparece, de la que las publicaciones del grupo Bourbaki son, desde 1939, uno de los ejemplos. (→ cálculo, geometría, matemáticas, número, estructura.)
