Cálculo de la matriz inversa: propiedades y ejemplos

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La matriz inversa o matriz invertible es un tipo de matriz cuadrada, es decir, tiene el mismo número de filas (m) y columnas (n).

Ocurre cuando el producto de dos matrices da como resultado una matriz de identidad del mismo orden (mismo número de filas y columnas).

Por lo tanto, para encontrar la inversa de una matriz, se usa la multiplicación.

LA . B = B. A = yo_norte (cuando la matriz B es inversa a la matriz A)

Pero, ¿qué es la Matriz de Identidad?

La Matriz de Identidad se define cuando los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1 y los demás elementos son iguales a 0 (cero). Está indicado por I_norte:

Propiedades de la matriz inversa

• Solo hay una inversa para cada matriz
• No todas las matrices tienen una matriz inversa. Es invertible solo cuando los productos de matrices cuadradas dan como resultado una matriz de identidad (I_norte)
• La matriz inversa de una inversa corresponde a la propia matriz: A = (A^-1)^-1
• La matriz transpuesta de una matriz inversa también es inversa: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
• La matriz inversa de una matriz transpuesta corresponde a la transpuesta de la inversa: (A^-1 LA^{t) -1}
• La matriz inversa de una matriz identidad es la misma que la matriz identidad: I^-1 = Yo

vea también: Matrices

Ejemplos de matriz inversa

Matriz inversa 2×2

Matriz inversa 3×3

Paso a paso: ¿Cómo calcular la matriz inversa?

Sabemos que si el producto de dos matrices es igual a la matriz identidad, esa matriz tiene una inversa.

Tenga en cuenta que si la matriz A es inversa a la matriz B, la notación: A^-1.

Ejemplo: Encuentre la inversa de la matriz por debajo del orden 3×3.

En primer lugar, debemos recordar eso. LA^-1 = I (La matriz multiplicada por su inversa dará como resultado la matriz identidad I_norte).

Cada elemento de la primera fila de la primera matriz se multiplica por cada columna de la segunda matriz.

Por tanto, los elementos de la segunda fila de la primera matriz se multiplican por las columnas de la segunda.

Y finalmente, la tercera fila de la primera con las columnas de la segunda:

Por equivalencia de los elementos con la matriz identidad, podemos descubrir los valores de:

a = 1
b = 0
c = 0

Conociendo estos valores, podemos calcular las otras incógnitas en la matriz. En la tercera fila y la primera columna de la primera matriz tenemos a + 2d = 0. Entonces, comencemos por encontrar el valor de D, reemplazando los valores encontrados:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

De la misma forma, en la tercera fila y segunda columna podemos encontrar el valor de y:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Continuando, tenemos en la tercera fila de la tercera columna: c + 2f. Tenga en cuenta que, en segundo lugar, la matriz identidad de esta ecuación no es igual a cero, sino a 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Pasando a la segunda fila y la primera columna encontraremos el valor de gramo:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 – 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

En la segunda fila y segunda columna, podemos encontrar el valor de H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Finalmente, encontremos el valor de I por la ecuación de la segunda fila y tercera columna:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Después de descubrir todos los valores de las incógnitas, podemos encontrar todos los elementos que componen la matriz inversa de A:

Ejercicios vestibulares con retroalimentación

1. (Cefet-MG) La matriz es inverso de
Se puede decir, correctamente, que la diferencia (xy) es igual a:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

dos. (UF Viçosa-MG) Sean las matrices:

Donde xey son números reales y M es la matriz inversa de A. Entonces el producto xy es:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

3. (PUC-MG) La matriz inversa de la matriz es igual a:

La)
B)
C)
D)
y)

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