Cómo descomponer expresiones algebraicas

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factorización de binomios: dos niñas escribiendo en una pizarra

Factorizar binomios significa descomponer una expresión binomial en su forma más simple. Los binomios son expresiones algebraicas con dos términos. Al factorizar binomios, debe separar la expresión en dos expresiones más simples rodeadas por paréntesis:

factorización de binomios: Ecuación matemática

En este artículo, cubriremos cómo factorizar binomios y trinomios.

¿Qué son los binomios?

Todas las siguientes expresiones son ejemplos de binomios:

Como puedes ver, cualquier expresión algebraica con dos términos es un binomio. Los binomios pueden incluir números enteros, números negativos, decimales o exponentes de cualquier valor. Y no importa si el primer término o el segundo término tiene una variable o no. La única regla real de un binomio es que tiene dos términos y al menos uno de ellos tiene una variable como x.

Una guía para factorizar binomios

Aquí hay un ejemplo de un binomio factorizable:

factorización de binomios: ejemplo de un binomio factorizable

La expresión algebraica anterior es un ejemplo de un binomio que se puede factorizar o poner en su forma más simple porque puedes sacar la raíz cuadrada de x² y 9.

Para factorizar binomios con exponentes a la segunda potencia, saca la raíz cuadrada del primer término y del coeficiente que sigue. Veremos cada parte del binomio por separado.

factorización de binomios: Ecuación matemática

factorización de binomios: Ecuación matemática

En este binomio, estás restando 9 de x². Factorizar un binomio que usa la resta para dividir la raíz cuadrada de un número se llama diferencia de dos cuadrados. Como multiplicar un negativo por un positivo es igual a un número negativo, la factorización de este binomio tendrá que incluir un positivo y un 3 negativo. Cuando simplificas este binomio, obtienes esta forma factorizada:

factorización de binomios: forma factorizada de un binomio

Binomios que no se pueden factorizar

Aunque muchos tipos diferentes de expresiones se pueden clasificar como binomios, no todas se pueden factorizar. Para ser factorizable, un binomio debe tener una diferencia de dos cuadrados, una diferencia de cubos, una suma de cubos o un máximo común divisor. Explicaremos los últimos tres términos a continuación.

El siguiente es un ejemplo de un binomio no factorizable:

factorización de binomios: ejemplo de un binomio no factorizable

He aquí por qué esta expresión binomial no se puede factorizar:

  1. Coeficiente principal no factorizable: Los Coeficiente de liderazgoque es el número escrito delante de la variable con el mayor exponente, es 3. Dado que 3 es un número primo cuya raíz cuadrada o cúbica no se puede sacar, no puedes dividir este binomio en dos expresiones.

  2. No existe el máximo común divisor (MCD): A FVC es un factor que tienen en común ambos términos dentro de la expresión binomial. Como no hay factor común entre 3 y 14, no se pueden dividir en dos expresiones.

Diferencia y Suma de Cubos

Cuando un binomio no tiene MCD o diferencia de dos cuadrados, tiene que tener una diferencia de cubos o una suma de cubos para poder factorizarse. Estos tipos de expresiones binomiales al cubo deben escribirse en el siguiente formato:

factorización de binomios: Fórmula para una diferencia de cubos

factorización de binomios: fórmula para una suma de cubos

En esta expresión, a y b representan coeficientes. Como cualquier otro binomio, esta expresión al cubo debe incluir al menos una variable, como X, para ser factorizable. La forma factorizada se separará en una expresión de dos términos y una expresión de tres términos:

factorización de binomios: forma factorizada de la diferencia de cubos

Forma factorizada de la diferencia de cubos

Forma factorizada de la suma de cubos

Forma factorizada de la suma de cubos

Usemos estas fórmulas para factorizar esta expresión de diferencia de cubos:

expresión matemática

Verifiquemos si los coeficientes 27 y 64 se pueden elevar al cubo. Si es así, a será igual a la raíz cúbica de 27, y b será igual a la raíz cúbica de 64:

expresión matemática

expresión matemática

Como ambos números se pueden elevar al cubo, sustituyamos los valores de a y b a la forma factorizada de la diferencia de cubos:

expresión matemática

Trinomios de factorización

Los binomios son parte de un grupo más grande de expresiones llamadas polinomios. Otros ejemplos de polinomios son los monomios, una expresión con un solo término, y los trinomios, una expresión con tres términos. Aquí hay ejemplos de cada uno:

Monomio: Ejemplo de un monomio

Trinomio: Ejemplo de un trinomio

Para factorizar trinomios, tienes que encontrar un factor común entre los tres términos. Al dividir el término medio del trinomio anterior en 2x y 5x, puedes encontrar el máximo común denominador del primer término x^2+2x y el último término 5x+10, respectivamente:

Ejemplo de un trinomio

expresión matemática

expresión matemática

Toma la expresión exterior de x+5 y la expresión interior de x+2 para obtener la forma factorizada de este trinomio:

Forma factorizada del trinomio

El arte de factorizar binomios

Al simplificar una expresión de dos términos, está poniendo a trabajar su conocimiento de los máximos comunes denominadores y las raíces cuadradas. Y aunque la factorización de binomios requiere práctica, dominarla facilita la factorización de expresiones polinómicas más complejas.

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