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Cómo usar las fórmulas de distancia y punto medio en un plano de coordenadas

Con las fórmulas de distancia y punto medio, puedes encontrar la distancia y el punto medio entre dos puntos en un plano de coordenadas.

La fórmula de la distancia te da la distancia d, expresada como un solo valor, entre los dos puntos finales:

fórmula de distancia y punto medio: fórmula de distancia

La fórmula del punto medio te da el punto medio, expresado como un par ordenado, entre los dos puntos finales:

Fórmula de punto medio

Cómo resolver la fórmula de la distancia

La fórmula de la distancia funciona para dos puntos cualesquiera. Echemos un vistazo a este ejemplo con puntos de coordenadas (1, 3) y (3, 7):

fórmula de la distancia y el punto medio: Diagrama usando 1-3 y 3-7 puntos

Si imaginamos los dos extremos como dos vértices de un triángulo, podemos ver cómo funciona la fórmula de la distancia. Recuerda que el hipotenusa de un triangulo rectangulo, cuando se eleva al cuadrado, es igual a la suma del cuadrado de los dos catetos. De ahí viene la fórmula de la distancia.

Aquí es donde está el triángulo en nuestro diagrama:

Fórmula de distancia y punto medio: diagrama que muestra líneas perpendiculares que forman un triángulo rectángulo

En este ejemplo, los lados punteados verde y azul del triángulo son líneas perpendiculares que forman un triángulo rectángulo.

Este lado azul del triángulo mide 4 unidades de largo, y el lado verde del triángulo mide 2 unidades de largo, como podemos ver en el gráfico. ¿Pero cuánto mide el lado rojo? Es la distancia entre nuestros dos puntos originales.

apliquemos el teorema de Pitágoras, c² = a² + b². Sustituiremos la línea roja por Cla hipotenusa y las líneas verde y azul para los lados a y b.

fórmula de distancia y punto medio: fórmula del teorema de Pitágoras usando colores

Sacaremos la raíz cuadrada de cada lado:

fórmula de distancia y punto medio: fórmula del teorema de Pitágoras que muestra la raíz cuadrada de cada lado

Por último, sustituimos los colores. “Rojo” se convierte en D, o la distancia.

Ahora, mira nuestros pares de coordenadas. Nos referiremos a (1, 3) como x1 y y1 y (3, 7) como x2 y y2.

«Verde» es el cambio en los valores de x, por lo que restaremos los valores de x de los dos pares de coordenadas,x1=1 y x2=3.

Del mismo modo, el valor de «azul», el cambio en «y», es y2-y1.

fórmula de la distancia y el punto medio: fórmula del teorema de Pitágoras sustituyendo los colores por su valor

La fórmula de la distancia surge cuando sustituimos estos valores:

fórmula de distancia y punto medio: fórmula de distancia emergente con valores que se sustituyen

La longitud de la hipotenusa aquí es la distancia entre nuestros puntos finales. Sustituyamos los puntos para encontrar la respuesta:

fórmula de la distancia y el punto medio: fórmula que muestra la longitud de la hipotenusa

Luego, simplificamos de acuerdo al orden de las operaciones, PEMDAS:

fórmula de distancia y punto medio: fórmula de distancia que muestra el orden de las operaciones PEMDAS

Podemos dejarlo como una raíz cuadrada o simplificarlo a un valor numérico, 4,47.

Cómo resolver la fórmula del punto medio

Usarás la fórmula del punto medio para encontrar el punto medio entre dos puntos cualesquiera. Para hacer esto, la fórmula busca las coordenadas de los puntos finales y luego encuentra el valor promedio entre las coordenadas x y las coordenadas y.

En el siguiente gráfico, tenemos un segmento de línea entre los dos puntos de coordenadas. x1 y y1 es (1, 3), y x2 y y2 es (3, 7).

El punto medio del segmento de recta se expresa como:

Fórmula de distancia y punto medio: Punto medio de la fórmula del segmento de línea

El punto rojo en el medio representa el nuevo par de coordenadas para el punto medio:

fórmula de distancia y punto medio: Diagrama que muestra el par de coordenadas para el punto medio

Sustituyamos los valores de coordenadas de arriba en la ecuación:

fórmula de distancia y punto medio: fórmulas de punto medio que sustituyen los valores de las coordenadas

fórmula de distancia y punto medio: Diagrama de fórmula de distancia usando 1-3 y 3-7 puntos

Aplicación de las fórmulas de distancia y punto medio

Las fórmulas de distancia y punto medio pueden ayudarnos a encontrar la distancia y el punto medio entre dos extremos en un plano de coordenadas. El punto medio de una fórmula de segmento de línea entre dos pares de coordenadas x1 y y1 y x2 y y2 es:

Fórmula de punto medio

La distancia de ese mismo segmento de línea denotada por pares de coordenadas x1 y y1 y x2 y y2 es:

Fórmula de distancia

Con un poco más de práctica, puede navegar estas fórmulas con facilidad.

Más ayuda con la tarea de matemáticas: