Concepto y cálculo de probabilidad

LA teoría de probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia experimentos o fenómenos aleatorios y a través de ella es posible analizar las posibilidades de que ocurra un determinado evento.

Cuando calculamos la probabilidad, estamos asociando un grado de confianza en la ocurrencia de los posibles resultados de los experimentos, cuyos resultados no se pueden determinar de antemano.

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De esta forma, el cálculo de probabilidad asocia la ocurrencia de un resultado con un valor que varía de 0 a 1 y, cuanto más cercano a 1 es el resultado, mayor es la certeza de su ocurrencia.

Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de que una persona compre un billete de lotería ganador o conocer las posibilidades de que una pareja tenga 5 hijos, todos varones.

probabilidad

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es aquel en el que no es posible predecir qué resultado se encontrará antes de realizarlo.

Eventos de este tipo, cuando se repiten en las mismas condiciones, pueden dar resultados diferentes y esta inconstancia se atribuye al azar.

Un ejemplo de experimento aleatorio es lanzar un dado de no adicto (dado que tiene una distribución de masa homogénea). Al caer, no es posible predecir con absoluta certeza cuál de las 6 caras estará mirando hacia arriba.

Fórmula de probabilidad

En un fenómeno aleatorio, las posibilidades de que ocurra un evento son igualmente probables.

Por lo tanto, podemos encontrar la probabilidad de que ocurra un resultado dado dividiendo el número de eventos favorables y el número total de resultados posibles:

negrita cursiva p negrita paréntesis izquierdo negrita cursiva negrita negrita paréntesis derecho negrita igual a negrita numerador n negrita paréntesis izquierdo negrita paréntesis derecho negrita sobre denominador negrita n negrita paréntesis izquierdo negrita omega superior negrita paréntesis derecho fin de fracción

Ser:

Sartén): probabilidad de ocurrencia de un evento A
a): número de casos que nos interesan (evento A)
n (Ω): número total de casos posibles

EJEMPLOS

1) Si lanzamos un dado perfecto, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 3?

Dado

Solución

Al ser el dado perfecto, las 6 caras tienen la misma probabilidad de caer boca arriba. Entonces, apliquemos la fórmula de probabilidad.

Para ello, debemos considerar que tenemos 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) y que el evento «dejando un número menor a 3» tiene 2 posibilidades, es decir, dejar el número 1 o el número 2 Por lo tanto, tenemos:

p paréntesis izquierdo paréntesis derecho igual al numerador n paréntesis izquierdo paréntesis derecho sobre denominador n omega izquierdo paréntesis superior derecho final de fracción P igual a 2 sobre 6 igual a 1 tercio P aproximadamente igual 0 punto 33 aproximadamente igual 33 por ciento signo

2) La baraja de cartas consta de 52 cartas divididas en cuatro palos (corazones, tréboles, diamantes y espadas) con 13 cartas de cada palo. Entonces, si saca una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que salga una carta del club?

Cartas de baraja

Solución

Al eliminar una letra al azar, no podemos predecir cuál será esa letra. Entonces, este es un experimento aleatorio.

En este caso, la cantidad de tarjetas corresponde a la cantidad de casos posibles y tenemos 13 tarjetas de club que representan la cantidad de eventos favorables.

Sustituyendo estos valores en la fórmula de probabilidad, tenemos:

p paréntesis izquierdo El paréntesis derecho es igual al numerador n el paréntesis izquierdo El paréntesis derecho sobre el denominador n omega izquierda mayúscula paréntesis derecho final de la fracción p paréntesis izquierdo El paréntesis derecho es igual a 13 sobre 52 p paréntesis izquierdo El paréntesis derecho es igual a 0 el punto 25 es igual al signo del 25 por ciento

Espacio muestral

Representado por la letra Ω, el espacio muestral corresponde al conjunto de posibles resultados obtenidos de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, cuando quitas al azar una carta de una baraja, el espacio muestral corresponde a las 52 cartas que componen esta baraja.

Asimismo, el espacio muestral al lanzar una sola vez un dado, son las seis caras que lo componen:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5 y 6}.

Tipos de eventos

El evento es cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Cuando un evento es exactamente igual al espacio muestral, se llama evento correcto. Por el contrario, cuando el evento está vacío, se llama evento imposible.

Ejemplo

Imagina que tenemos una caja con bolas numeradas del 1 al 20 y que todas las bolas son rojas.

El evento «sacar una bola roja» es un evento determinado, ya que todas las bolas de la caja son de este color. El evento «tomar un número mayor que 30» es imposible, ya que el número más grande en el cuadro es 20.

Análisis combinatorio

En muchas situaciones, es posible descubrir directamente el número de eventos posibles y favorables de un experimento aleatorio.

Sin embargo, en algunos problemas, será necesario calcular estos valores. En este caso, podemos utilizar las fórmulas de permutación, ordenamiento y combinación según la situación propuesta en la pregunta.

Para obtener más información sobre el tema, visite:

Ejemplo

(EsPCEx – 2012) La probabilidad de obtener un número divisible por 2 al elegir al azar una de las permutaciones de las figuras 1, 2, 3, 4, 5 es

a paréntesis derecho 1 quinto b paréntesis derecho 2 sobre 5 c paréntesis derecho espacio 3 sobre 4 d paréntesis derecho 1 cuarto y paréntesis derecho 1 medio

Solución

En este caso, necesitamos averiguar la cantidad de eventos posibles, es decir, cuántos números diferentes obtenemos al cambiar el orden de los 5 dígitos dados (n = 5).

Como, en este caso, el orden de las cifras forma números diferentes, usaremos la fórmula de permutación. Por tanto, tenemos:

Posibles eventos: P con 5 subíndice igual a un espacio factorial igual a 5 factorial igual a 5.4.3.2.1 igual a 120

Por tanto, con 5 dígitos podemos encontrar 120 números distintos.

Para calcular la probabilidad, aún tenemos que encontrar el número de eventos favorables que, en este caso, es encontrar un número divisible por 2, lo que sucederá cuando el último dígito del número sea 2 o 4.

Teniendo en cuenta que para la última posición solo tenemos estas dos posibilidades, entonces tendremos que intercambiar las otras 4 posiciones que forman el número, así:

Acontecimientos favorables: 2. P con 4 subíndices espacio igual al espacio 2. espacio 4 espacio factorial igual al espacio 2.4.3.2.1 igual a 48

La probabilidad se hallará haciendo:

p paréntesis izquierdo El paréntesis derecho igual a 48 sobre 120 es igual a 2 sobre 5

Leer tambien:

Ejercicio resuelto

1) PUC / RJ – 2013

Si a = 2n + 1 con n ∈ {1, 2, 3, 4}, entonces la probabilidad de que el número La ser pareja es

a 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0

Cuando reemplazamos cada valor posible de n en la expresión del número a, notamos que el resultado siempre será un número impar.

Por lo tanto, «ser un número par» es un evento imposible. En este caso, la probabilidad es igual a cero.

Alternativa: e) 0

2) UPE – 2013

En una clase de un curso de español, tres personas tienen la intención de intercambiar en Chile y siete en España. Entre estas diez personas, dos fueron elegidas para la entrevista que sacará becas en el exterior. La probabilidad de que estas dos personas elegidas pertenezcan al grupo que pretende intercambiar en Chile es

a espacio entre paréntesis derecho 1 quinto b espacio entre paréntesis derecho 1 sobre 15 c espacio entre paréntesis derecho 1 sobre 45 d espacio entre paréntesis derecho 3 sobre 10 y espacio entre paréntesis derecho 3 sobre 7

Primero, encontremos el número de situaciones posibles. Como la elección de las 2 personas no depende del orden, utilizaremos la fórmula de combinación para determinar el número de casos posibles, es decir:

C con 10 punto 2 subíndice final del subíndice igual al numerador 10 factorial sobre el denominador 2 espacio factorial paréntesis izquierdo 10 menos 2 paréntesis derecho final factorial de la fracción igual al numerador 10 factorial sobre el denominador 2 espacio factorial 8 final factorial de la fracción igual al numerador 10,9.  rayado diagonalmente hacia arriba sobre 8 factorial final de rayado sobre denominador 2.1.  diagonal rayado hacia arriba sobre 8 extremo factorial del extremo rayado de la fracción igual a 90 sobre 2 igual a 45

Por lo tanto, hay 45 formas de elegir a las 2 personas en un grupo de 10 personas.

Ahora, necesitamos calcular la cantidad de eventos favorables, es decir, las dos personas seleccionadas querrán intercambiar en Chile. Nuevamente usaremos la fórmula de combinación:

C con 3 punto 2 subíndice final del subíndice igual al numerador 3 factorial sobre denominador 2 espacio factorial paréntesis izquierdo 3 menos 2 paréntesis derecho final factorial de fracción igual al numerador 3. raya diagonal hacia arriba sobre 2 factorial fin de racha sobre denominador raya diagonal hacia arriba más de 2 extremo factorial del espacio tachado 1 extremo de la fracción igual a 3

Por tanto, existen 3 formas de elegir 2 personas entre las tres que pretenden estudiar en Chile.

Con los valores encontrados, podemos calcular la probabilidad solicitada sustituyendo en la fórmula:

p paréntesis izquierdo paréntesis derecho igual al numerador n paréntesis izquierdo paréntesis derecho sobre denominador n omega izquierdo mayúscula paréntesis derecho fin de fracción p paréntesis izquierdo paréntesis derecho igual a 3 sobre 45 igual a 1 sobre 15

Alternativa: b) 1 sobre 15

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