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LA teoría de probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia experimentos o fenómenos aleatorios y a través de ella es posible analizar las posibilidades de que ocurra un determinado evento.
Cuando calculamos la probabilidad, estamos asociando un grado de confianza en la ocurrencia de los posibles resultados de los experimentos, cuyos resultados no se pueden determinar de antemano.
De esta forma, el cálculo de probabilidad asocia la ocurrencia de un resultado con un valor que varía de 0 a 1 y, cuanto más cercano a 1 es el resultado, mayor es la certeza de su ocurrencia.
Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de que una persona compre un billete de lotería ganador o conocer las posibilidades de que una pareja tenga 5 hijos, todos varones.
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel en el que no es posible predecir qué resultado se encontrará antes de realizarlo.
Eventos de este tipo, cuando se repiten en las mismas condiciones, pueden dar resultados diferentes y esta inconstancia se atribuye al azar.
Un ejemplo de experimento aleatorio es lanzar un dado de no adicto (dado que tiene una distribución de masa homogénea). Al caer, no es posible predecir con absoluta certeza cuál de las 6 caras estará mirando hacia arriba.
Fórmula de probabilidad
En un fenómeno aleatorio, las posibilidades de que ocurra un evento son igualmente probables.
Por lo tanto, podemos encontrar la probabilidad de que ocurra un resultado dado dividiendo el número de eventos favorables y el número total de resultados posibles:
Ser:
Sartén): probabilidad de ocurrencia de un evento A
a): número de casos que nos interesan (evento A)
n (Ω): número total de casos posibles
EJEMPLOS
1) Si lanzamos un dado perfecto, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 3?
Solución
Al ser el dado perfecto, las 6 caras tienen la misma probabilidad de caer boca arriba. Entonces, apliquemos la fórmula de probabilidad.
Para ello, debemos considerar que tenemos 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) y que el evento «dejando un número menor a 3» tiene 2 posibilidades, es decir, dejar el número 1 o el número 2 Por lo tanto, tenemos:
2) La baraja de cartas consta de 52 cartas divididas en cuatro palos (corazones, tréboles, diamantes y espadas) con 13 cartas de cada palo. Entonces, si saca una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que salga una carta del club?
Solución
Al eliminar una letra al azar, no podemos predecir cuál será esa letra. Entonces, este es un experimento aleatorio.
En este caso, la cantidad de tarjetas corresponde a la cantidad de casos posibles y tenemos 13 tarjetas de club que representan la cantidad de eventos favorables.
Sustituyendo estos valores en la fórmula de probabilidad, tenemos:
Espacio muestral
Representado por la letra Ω, el espacio muestral corresponde al conjunto de posibles resultados obtenidos de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, cuando quitas al azar una carta de una baraja, el espacio muestral corresponde a las 52 cartas que componen esta baraja.
Asimismo, el espacio muestral al lanzar una sola vez un dado, son las seis caras que lo componen:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 y 6}.
Tipos de eventos
El evento es cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Cuando un evento es exactamente igual al espacio muestral, se llama evento correcto. Por el contrario, cuando el evento está vacío, se llama evento imposible.
Ejemplo
Imagina que tenemos una caja con bolas numeradas del 1 al 20 y que todas las bolas son rojas.
El evento «sacar una bola roja» es un evento determinado, ya que todas las bolas de la caja son de este color. El evento «tomar un número mayor que 30» es imposible, ya que el número más grande en el cuadro es 20.
Análisis combinatorio
En muchas situaciones, es posible descubrir directamente el número de eventos posibles y favorables de un experimento aleatorio.
Sin embargo, en algunos problemas, será necesario calcular estos valores. En este caso, podemos utilizar las fórmulas de permutación, ordenamiento y combinación según la situación propuesta en la pregunta.
Para obtener más información sobre el tema, visite:
Ejemplo
(EsPCEx – 2012) La probabilidad de obtener un número divisible por 2 al elegir al azar una de las permutaciones de las figuras 1, 2, 3, 4, 5 es
Solución
En este caso, necesitamos averiguar la cantidad de eventos posibles, es decir, cuántos números diferentes obtenemos al cambiar el orden de los 5 dígitos dados (n = 5).
Como, en este caso, el orden de las cifras forma números diferentes, usaremos la fórmula de permutación. Por tanto, tenemos:
Posibles eventos:
Por tanto, con 5 dígitos podemos encontrar 120 números distintos.
Para calcular la probabilidad, aún tenemos que encontrar el número de eventos favorables que, en este caso, es encontrar un número divisible por 2, lo que sucederá cuando el último dígito del número sea 2 o 4.
Teniendo en cuenta que para la última posición solo tenemos estas dos posibilidades, entonces tendremos que intercambiar las otras 4 posiciones que forman el número, así:
Acontecimientos favorables:
La probabilidad se hallará haciendo:
Leer tambien:
Ejercicio resuelto
1) PUC / RJ – 2013
Si a = 2n + 1 con n ∈ {1, 2, 3, 4}, entonces la probabilidad de que el número La ser pareja es
a 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
2) UPE – 2013
En una clase de un curso de español, tres personas tienen la intención de intercambiar en Chile y siete en España. Entre estas diez personas, dos fueron elegidas para la entrevista que sacará becas en el exterior. La probabilidad de que estas dos personas elegidas pertenezcan al grupo que pretende intercambiar en Chile es
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