Cónicas: elipse, hipérbola y parábola

Las cónicas o secciones cónicas son curvas obtenidas por la intersección de un plano con un doble cono. Según la inclinación de este plano, la curva se denominará elipse, hipérbola o parábola.

Cuando el plano es paralelo al plano de la base del cono, la curva es un círculo y se considera un caso particular de elipse. A medida que aumentamos la inclinación del avión, encontramos las otras curvas, como se muestra en la siguiente imagen:

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cónico

La intersección de un plano con el vértice del cono también puede dar lugar a un punto, una recta o dos rectas concurrentes. En este caso, se denominan cónicas degeneradas.

El estudio de las secciones cónicas se inició en la antigua Grecia, donde se identificaron varias de sus propiedades geométricas. Sin embargo, se necesitaron algunos siglos para identificar la utilidad práctica de estas curvas.

Elipse

La curva que se genera cuando un plano corta todas las generatrices de un cono se llama elipse, en este caso el plano no es paralelo a la generatriz.

Por tanto, la elipse es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya suma de distancias (d1 + ddos) a dos puntos fijos del plano, llamados foco (F1 y Fdos), es un valor constante.

Elipse

La suma de las distancias d1 eddos está indicado por 2a, es decir, 2a = d1 + ddos y la distancia entre los focos se llama 2c, donde 2a> 2c.

La mayor distancia entre dos puntos pertenecientes a la elipse se denomina eje mayor y su valor es igual a 2a. La distancia más corta se llama eje menor y se indica con 2b.

El número e igual ac en el se llama excentricidad e indica cuán «aplanada» está la elipse.

También tenemos la siguiente lista:

Lados = bdos + cdos

Ser

a: medida del semieje mayor
b: medida del eje semi-menor
c: media distancia focal

ecuación reducida

Podemos representar una elipse usando un plano cartesiano, como se muestra a continuación:

Ecuación de elipse

En este caso, la elipse tiene un centro en el origen del plano y se enfoca en el eje Ox. Así, su ecuación reducida viene dada por:

x al cuadrado sobre a al cuadrado más y al cuadrado sobre b al cuadrado es igual a 1

Si los focos están en el eje Oy y el centro en el origen, la ecuación reducida es igual a:

x al cuadrado sobre b al cuadrado más y al cuadrado sobre a al cuadrado es igual a 1

Parábola

Cuando un plano se cruza con un cono con una inclinación paralela a una de sus generatrices, la figura que aparece es una parábola.

Así, la parábola es el lugar geométrico de los puntos pertenecientes a un plano, que son equidistantes de una línea fija y un punto fijo.

Este punto fijo se llama foco de la parábola y la línea se llama directriz. La línea recta que pasa por el foco, perpendicular a la línea guía, se llama eje de simetría de la parábola.

El vértice es el punto de intersección entre la parábola y su eje, y la distancia entre el vértice y el foco es igual a la distancia desde el vértice a la guía.

ecuación reducida

Representando una parábola en un plano cartesiano con el vértice coincidiendo con el origen de los ejes y considerando c igual a la distancia entre el foco y el vértice, tenemos 4 situaciones posibles.

1o) Eje de simetría coincidente con el eje Oy y directriz recta y = – c, la ecuación será: Xdos = 4 ciclos.

parábola 1

2o) Eje de simetría coincidente con el eje del Buey y la directriz recta x = – c, la ecuación será: ydos = 4 cajas.

parábola2

3o) Eje de simetría coincidente con el eje Oy y la directriz recta y = c, la ecuación será: Xdos = – 4 ciclos.

parábola 3

4o) Eje de simetría coincidente con el eje del Buey y la directriz recta x = c, la ecuación será: ydos = – 4 cajas.

parábola 4

Hipérbole

Hipérbola es el nombre de la curva que aparece cuando un doble cono es interceptado por un plano paralelo a su eje.

Por tanto, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya magnitud de la diferencia de distancias a dos puntos fijos en el plano (foco) es un valor constante.

La diferencia de distancias d1 eddos se indica mediante 2a, es decir, 2a = | D1 – dedos |, y la distancia entre los focos viene dada por 2c, donde 2a

Representando la hipérbola en el eje cartesiano, tenemos los puntos A1 y eldos que son los vértices de la hipérbola. La línea que conecta estos dos puntos se llama eje real.

También hemos indicado los puntos B1 y Bdos que pertenecen a la bisectriz de la recta y que conectan los vértices de la hipérbola. La línea que conecta estos puntos se llama eje imaginario.

La distancia desde el punto B1 el origen del eje cartesiano se indica en la figura por by es tal que bdos = cdos – ados .

hipérbole

ecuación reducida

La ecuación reducida de la hipérbola con los focos ubicados en el eje Ox y el centro en el origen viene dada por:

x al cuadrado sobre a al cuadrado menos y al cuadrado sobre b al cuadrado es igual a 1

Si los focos están en el eje Oy y el centro también en el origen, la ecuación será:

y al cuadrado sobre a menos x al cuadrado sobre b al cuadrado es igual a 1

Ejercicios resueltos

1) Enem – 2015

La figura representa la vista superior de un balón de fútbol americano, cuya forma es un elipsoide obtenido al girar una elipse alrededor del eje de abscisas. Los valores ayb son, respectivamente, la mitad de su longitud horizontal y la mitad de su longitud vertical. Para esta bola, la diferencia entre las longitudes horizontal y vertical es igual a la mitad de la longitud vertical.

La pregunta de la elipse de 2015

Considere que el volumen aproximado de esta bola viene dado por V = 4abdos . El volumen de esta bola, en función de b solamente, está dado por

a) 8b3
b) 6b3
c) 5b3
d) 4b3
e) 2b3

Para escribir el volumen solo en términos de b, necesitamos encontrar una relación entre ay b.

En el enunciado del problema, tenemos la información de que la diferencia entre las longitudes horizontal y vertical es igual a la mitad de la longitud vertical, es decir:

2 a espacio menos 2 b espacio igual al espacio numerador 2 b sobre el denominador 2 final de la fracción 2 a igual a 2 b más ba igual al numerador 3 b sobre el denominador 2 final de la fracción

Sustituyendo el valor de a en la expresión de volumen, tenemos:

V es igual a 4. numerador 3 b sobre denominador 2 final de la fracción.  b al cuadrado V es igual a 6 b al cubo

Alternativa: e) V = 6b3

2) Enem – 2013

Durante una clase de Matemáticas, el profesor sugiere a los alumnos que se fije un sistema de coordenadas cartesianas (x, y) y representa en la pizarra la descripción de cinco conjuntos algebraicos, I, II, III, IV y V, de la siguiente manera:

I – es la circunferencia de la ecuación xdos + ydos = 9;
II – es la parábola de la ecuación y = – xdos – 1, con x comprendido entre -1 y 1;
III – es el cuadrado formado por los vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) y (−2, 2);
IV – es el cuadrado formado por los vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) y (1, 2);
V – es el punto (0, 0).

A continuación, el profesor representa correctamente los cinco conjuntos en la misma cuadrícula, compuestos por cuadrados cuyos lados miden una unidad de longitud, cada uno, obteniendo una figura.

¿Cuál de estos dibujos fue dibujado por el maestro?

pregunta es en 2013 parábola

La ecuación de la circunferencia x dos + ydos = 9 nos dice que está centrado en el origen, además, el radio es igual a 3, porque xdos+ ydos = rdos.

La parábola de la ecuación y = – xdos – 1 tiene concavidad descendente y no corta el eje x, ya que calculando el discriminante de esta ecuación vemos que el delta es menor que cero. Entonces no corta el eje x.

La única opción que cumple estas condiciones es la letra e.

Alternativa: e)

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