Conjuntos numéricos: natural, entero, racional, irracional y real

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Tú conjuntos numéricos reúnen varios conjuntos cuyos elementos son números. Están formados por números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. La rama de las matemáticas que estudia los conjuntos numéricos es la teoría de conjuntos.

Consulta a continuación las características de cada uno de ellos como concepto, símbolo y subconjuntos.

Conjunto de números naturales (N)

El conjunto de números naturales está representado por norte. Reúne los números que usamos para contar (incluido el cero) y es infinito.

Subconjuntos de números naturales

• NORTE* = {1, 2, 3, 4, 5 …, n, …} o N * = N – {0}: conjuntos de números naturales distintos de cero, es decir, sin cero.
• norte_PAG = {0, 2, 4, 6, 8 …, 2n, …}, donde n ∈ N: conjunto de números naturales pares.
• norte_I = {1, 3, 5, 7, 9 …, 2n + 1, …}, donde n ∈ N: conjunto de números naturales impares.
• PAG = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto de números naturales primos.

Conjunto de enteros (Z)

El conjunto de números enteros está representado por Z. Reúne todos los elementos de los números naturales (N) y sus opuestos. Por tanto, se concluye que N es un subconjunto de Z (N ⊂ Z):

Subconjuntos de enteros

• Z * = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} o Z * = Z – {0}: conjuntos de enteros distintos de cero, es decir, sin el cero.
• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto de números enteros y no negativos. Tenga en cuenta que Z₊ = No.
• Z^*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto de enteros positivos sin el cero.
• Z _– = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto de enteros no positivos.
• Z^*_– = {…, –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto de enteros negativos sin cero.

Conjunto de números racionales (Q)

El conjunto de números racionales está representado por Q. Reúne todos los números que se pueden escribir en la forma p / q, siendo PAG y qué enteros eq ≠ 0.

Q = {0, ± 1, ± 1/2, ± 1/3, …, ± 2, ± 2/3, ± 2/5, …, ± 3, ± 3/2, ± 3 / 4, …}

Tenga en cuenta que todo número entero también es un número racional. Entonces Z es un subconjunto de Q.

Subconjuntos de números racionales

• Q * = subconjunto de los números racionales distintos de cero, formado por los números racionales sin el cero.
• Q₊ = subconjunto de números racionales no negativos, formado por números racionales positivos y cero.
• Q^*₊ = subconjunto de los números racionales positivos, formado por los números racionales positivos, sin el cero.
• Q_– = subconjunto de números racionales no positivos, formado por números racionales negativos y cero.
• Q *_– = subconjunto de números racionales negativos, formados números racionales negativos, sin cero.

Conjunto de números irracionales (I)

El conjunto de números irracionales está representado por I. Recopila números decimales inexactos con una representación infinita no periódica, por ejemplo: 3,141592 … o 1,203040 …

Es importante señalar que el diezmos periódicos son números racionales y no irracionales. Son números decimales que se repiten después de la coma, por ejemplo: 1.3333333 …

Conjunto de números reales (R)

El conjunto de números reales está representado por R. Este conjunto está formado por los números racionales (Q) e irracionales (I). Por lo tanto, tenemos que R = Q ∪ I. Además, N, Z, Q e I son subconjuntos de R.

Pero tenga en cuenta que si un número real es racional, tampoco puede ser irracional. Asimismo, si es irracional, no es racional.

Subconjuntos de números reales

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto de números reales distintos de cero.
• R₊ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto de números reales no negativos.
• R^*₊ = {x ∈ R│x> 0}: conjunto de números reales positivos.
• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto de números reales no positivos.
• R^*_– = {x ∈ R│x

Lea también sobre Números: qué son, historia y conjuntos.

Rangos numéricos

Incluso hay un subconjunto relacionado con los números reales que se denominan intervalos. ser La y B números reales y a intervalos reales:

rango abierto extremo:]a, b[ = {x ∈ R│a

Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Rango abierto a la derecha (o cerrado a la izquierda) de los extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x

Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a, b]= {x ∈ R│a

Propiedades de los conjuntos numéricos

Diagrama de conjuntos numéricos

Para facilitar los estudios sobre conjuntos numéricos, a continuación se presentan algunas de sus propiedades:

• El conjunto de números naturales (N) es un subconjunto de los enteros: Z (N ⊂ Z).
• El conjunto de números enteros (Z) es un subconjunto de los números racionales: (Z ⊂ Q).
• El conjunto de números racionales (Q) es un subconjunto de los números reales (R).
• Los conjuntos de números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I) son subconjuntos de los números reales (R).

Ejercicios de examen de ingreso con comentarios

1. (UFOP-MG) Respecto a los números a = 0.499999 … yb = 0.5, es correcto decir:

a) b = a + 0.011111
b) a = b
C) La es irracional y B es racional
da

dos. (UEL-PR) Tenga en cuenta los siguientes números:

I. 2,212121 …
II. 3,212223 …
III. π / 5
IV. 3.1416
V. √– 4

Marque la alternativa que identifica los números irracionales:

a) I y II.
b) I y IV.
c) II y III.
d) II y V.
e) III y V.

3. (Cefet-CE) El conjunto es unitario:

a) {x ∈ Z│xb) {x ∈ Z│x^dos > 0}
c) {x ∈ R│x^dos = 1}
d) {x ∈ Q│x^dos
e) {x ∈ N│1

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