¿Cuáles son las propiedades de los números reales?

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propiedades de los números reales: diagrama colorido que muestra los diferentes tipos de números

En matemáticas, hay muchos conjuntos diferentes de números con los que trabajar. Un conjunto de números se conoce como números reales. Cuando se trata de las propiedades de los números reales, hay varias propiedades importantes que debe conocer:

  • identidad aditiva
  • identidad multiplicativa
  • Propiedad conmutativa de la suma
  • Propiedad conmutativa de la multiplicación
  • Propiedad asociativa de la suma
  • Propiedad asociativa de la multiplicación
  • Propiedad distributiva de la multiplicación

Una propiedad es solo una forma de expresar una característica o algo que es cierto sobre los números reales. Conocer estas propiedades te ayudará a reducir o simplificar expresiones algebraicas. Veamos cada propiedad en detalle para entenderlas mejor.

Propiedades de identidad de los números reales

Tenga en cuenta que todas estas propiedades se aplican a cualquier número real, incluidos los números positivos, los números negativos, los números con fracciones y los números con decimales. Las dos primeras propiedades se denominan propiedades de identidad. Hay una identidad aditiva y una identidad multiplicativa.

0 se llama la «identidad aditiva» de todos los números reales. Esto simplemente significa que para cualquier número real a:

propiedades de los números reales: Ecuación que muestra identidad aditiva

En otras palabras, cada vez que sumas 0 a un número, se iguala a sí mismo. Por ejemplo, 5 + 0 siempre es igual a 0.

1 se llama la «identidad multiplicativa» a todos los números reales. Esta identidad establece que para cualquier número real a:

propiedades de los números reales: Ecuación que muestra la identidad multiplicativa

En otras palabras, multiplicar un número por 1 siempre resulta en sí mismo. Por ejemplo, 8 x 1 sigue siendo igual a 8.

Propiedades conmutativas y asociativas de los números reales

A continuación, la propiedad conmutativa establece que cambiando la orden de sumar o multiplicar números reales no cambia el resultado. Hay propiedades conmutativas tanto aditivas como multiplicativas para todos los números reales.

Aquí hay un ejemplo de la propiedad conmutativa aditiva:

propiedades de los números reales: Ejemplo de una ecuación con propiedad conmutativa aditiva

propiedades de los números reales: Ejemplo de una ecuación con propiedad conmutativa aditiva

No importa en qué orden sumas los números, el resultado sigue siendo 11.

He aquí un ejemplo de la propiedad multiplicativa conmutativa:

propiedades de los números reales: Ejemplo de una ecuación con propiedad conmutativa multiplicativa

propiedades de los números reales: Ejemplo de una ecuación con propiedad conmutativa multiplicativa

No importa en qué orden multipliques los números, el resultado sigue siendo 24.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa establece que cambiando la agrupación de sumar o multiplicar números reales no cambia el resultado.

Aquí hay un ejemplo de la propiedad asociativa aditiva:

propiedades de los números reales: Ejemplo de una ecuación con propiedad asociativa aditiva

Ejemplo de una ecuación con propiedad asociativa aditiva

Aquí hay un ejemplo de la propiedad asociativa multiplicativa:

Ejemplo de una ecuación con propiedad asociativa multiplicativa

Ejemplo de una ecuación con propiedad asociativa multiplicativa

Propiedades distributivas de los números reales

La propiedad distributiva se aplica cuando estás simplificando expresiones con paréntesis. También se conoce como la propiedad distributiva de la multiplicación y establece que para cualquier número real a, by C:

Ejemplo de una ecuación con propiedad distributiva de la multiplicación

Esto suele surgir cuando estás haciendo un problema de orden de operaciones. Recuerda la P en PEMDAS significa paréntesis. En el ejemplo simple 2(3 + 5), si tuviera que calcular sin la propiedad distributiva, primero debe calcular el término dentro del paréntesis:

Ecuación que muestra el orden de las operaciones PEMDAS

Si tuviera que calcular utilizando la propiedad distributiva, simplificaría primero a:

Ecuación que muestra el orden de las operaciones PEMDAS

Luego, haces la M (multiplicación) en PEMDAS antes de hacer la A (suma) para obtener el mismo resultado.

Ecuación que muestra el orden de las operaciones PEMDAS

Trabajar con las propiedades de los números reales

En resumen, estas son propiedades bien conocidas que se aplican a todos los números reales:

  • identidad aditiva
  • identidad multiplicativa
  • Propiedad conmutativa de la suma
  • Propiedad conmutativa de la multiplicación
  • Propiedad asociativa de la suma
  • Propiedad asociativa de la multiplicación
  • Propiedad distributiva de la multiplicación

Las propiedades conmutativas y asociativas son propiedades que se aplican tanto a la suma como a la multiplicación cuando se trata del orden y la agrupación de sumas y multiplicaciones de números reales. La propiedad distributiva se cumple para todos los números reales cuando se simplifica una expresión con paréntesis.

Y no olvides que la propiedad de identidad de la suma establece que sumar 0 a cualquier número real es igual a sí mismo, y la propiedad de identidad de la multiplicación establece que multiplicar cualquier número real por 1 también es igual a sí mismo. ¡Todas estas propiedades son válidas para cualquier número real y son propiedades útiles para entender y aprender!

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