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La ecuación de la línea se puede determinar trazándola en el plano cartesiano (x, y). Conociendo las coordenadas de dos puntos distintos que pertenecen a la recta podemos determinar su ecuación.
También es posible definir una ecuación de la recta en función de su inclinación y las coordenadas de un punto que le pertenece.
ecuación general de la recta
Dos puntos definen una línea. De esta manera, podemos encontrar la ecuación general de la línea alineando dos puntos con un punto genérico (x, y) en la línea.
Deje que los puntos A (xElaaEl) y B (xBaaB), no coincidente y perteneciente al plano cartesiano.
Se alinean tres puntos cuando el determinante de la matriz asociado a esos puntos es igual a cero. Entonces debemos calcular el determinante de la siguiente matriz:
Desarrollando el determinante encontramos la siguiente ecuación:
(yEl -yB) x + (xB – XEl) y + xElyB – XByEl = 0
Llamemos:
a = (yEl -yB)
b = (xB – XEl)
c = xElyB – XByEl
La ecuación general de la línea recta se define como:
ax + por + c = 0
Donde El, B y C son constantes y El y B no pueden ser simultáneamente nulos.
Ejemplo
Encuentre una ecuación general de la línea que pasa por los puntos A (-1, 8) y B (-5, -1).
Primero debemos escribir la condición de alineación de tres puntos, definiendo la matriz asociada a los puntos dados y un punto genérico P (x, y) perteneciente a la recta.
Desarrollando el determinante, encontramos:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
La ecuación general de la recta que pasa por los puntos A (-1,8) y B (-5, -1) es:
9x – 4 años + 41 = 0
Para obtener más información, lea también:
Ecuación de línea reducida
Coeficiente angular
Podemos encontrar una ecuación de la recta. r conociendo su inclinación (dirección), es decir, el valor del ángulo θ que presenta la recta con relación al eje x.
Para esto asociamos un número metro, que se llama pendiente de la línea, de modo que:
m = tg θ
La pendiente metro también se puede encontrar conociendo dos puntos pertenecientes a la línea recta.
Como m = tg θ, entonces:
Ejemplo
Determine la pendiente de la recta r, que pasa por los puntos A (1,4) y B (2,3).
Ser,
X1 = 1 ey1 = 4
Xdos = 2 eydos = 3
Conociendo el coeficiente angular de la línea. metro y un punto P0(X0aa0) pertenecientes a él, podemos definir su ecuación.
Para ello, sustituiremos el punto conocido P en la fórmula de la pendiente.0 y un punto genérico P (x, y), también perteneciente a la recta:
Ejemplo
Determine una ecuación de la línea que pasa por el punto A (2,4) y tiene pendiente 3.
Para encontrar la ecuación de la línea, simplemente reemplace los valores dados:
y – 4 = 3 (x – 2)
y – 4 = 3x – 6
-3x + y + 2 = 0
coeficiente lineal
el coeficiente lineal No derecho r se define como el punto donde la línea se cruza con el eje y, es decir, el punto de coordenadas P (0, n).
Usando este punto, tenemos:
y – n = m (x – 0)
y = mx + n (ecuación de línea reducida).
Ejemplo
Si se sabe que la ecuación de la recta r está dada por y = x + 5, identifique su pendiente, su pendiente y el punto donde la recta se cruza con el eje y.
Como tenemos la ecuación reducida de la línea, entonces:
m = 1
Donde m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
El punto de intersección de la línea con el eje y es el punto P (0, n), donde n = 5, entonces el punto será P (0.5)
Lea también Cálculo de pendientes
Ecuación de segmento de línea
Podemos calcular la pendiente usando el punto A (a, 0) en el que la línea corta el eje xy el punto B (0, b) que corta el eje y:
Considerando n = by sustituyendo en forma reducida, tenemos:
Dividiendo todos los miembros por ab, encontramos la ecuación segmentaria de la línea:
Ejemplo
Escribe, en forma segmentaria, la ecuación de la recta que pasa por el punto A (5.0) y tiene pendiente 2.
Primero busquemos el punto B (0, b), sustituyendo en la expresión de pendiente:
Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos la ecuación segmentaria de la línea:
Lea también sobre:
Ejercicios resueltos
1) Dada la recta que tiene la ecuación 2x + 4y = 9, determina su pendiente.
2) Escribe la ecuación de la línea 3x + 9y – 36 = 0 en forma reducida.
3) ENEM – 2016
Para una feria de ciencias, se están construyendo dos proyectiles de cohetes, A y B, para ser lanzados. El plan es que se lancen juntos, con el objetivo de que el proyectil B intercepte a A cuando alcance su altura máxima. Para que esto suceda, uno de los proyectiles describirá una trayectoria parabólica, mientras que el otro describirá una trayectoria supuestamente recta. El gráfico muestra las alturas alcanzadas por estos proyectiles en función del tiempo, en las simulaciones realizadas.
Con base en estas simulaciones, se observó que la trayectoria del proyectil B debe cambiarse para que el
se logró el objetivo.
Para alcanzar la meta, el coeficiente angular de la línea que representa la trayectoria de B debe
a) disminuir en 2 unidades.
b) disminuir en 4 unidades.
c) aumentar en 2 unidades.
d) aumentar en 4 unidades.
e) aumentar en 8 unidades.
vea también: Ejercicios de geometría analítica
