Ecuaciones lineales – generales, reducidas, matriciales y paramétricas – Matemáticas

En matemáticas, la geometría analítica estudia las ecuaciones y sus representaciones a través de un sistema de coordenadas cartesianas. Centrándose en el estudio de las líneas rectas y su representación en el plano cartesiano, la ecuación recta nos permite diferentes formas de representación. Algunas propiedades y condiciones son elementales para interpretar su comportamiento. Veamos ejemplos:

Ecuación de línea reducida

Una ecuación lineal se puede representar en el plano por una línea, o una línea recta, en el plano cartesiano en dos dimensiones, donde en forma reducida se describe por:

Donde: m es la pendiente de la línea, b es el punto de intersección con el eje y, también llamado coeficiente lineal y x es la variable aleatoria. En el plano cartesiano tenemos:

Donde A y B son dos puntos tales que A = (x_Ely_El) y B = (x_By_B). El valor del coeficiente angular de la recta m viene dado por la relación:

Lo que nos permite escribir otra forma de la ecuación general de la recta, dados 2 puntos, que viene dada por:

La ecuación reducida de la línea recta también se llama ecuación fundamental de la recta.

Ecuación de línea general

La ecuación general de la recta se obtiene cuando aislamos la ecuación reducida de la recta a la siguiente forma:

Donde: es el coeficiente angular de la línea, es el punto del coeficiente lineal y x es la variable aleatoria.

Ecuación de matriz lineal

Otra forma de representar la ecuación de una línea es mediante la forma de una determinante de una matriz. Dados dos puntos A = (x_Ely_El) y B = (x_By_B), tenemos:

Resolviendo este determinante por el método de Sarrus, tenemos:

En general, esta igualdad anterior se puede relacionar de manera equivalente a:

Donde Δx y Δy son las variaciones (y_B-y_El) y (x_B-X_El) respectivamente.

Ecuación paramétrica de línea

La forma paramétrica de una línea es una más de sus representaciones, así como las formas: general, segmentaria y reducida. La diferencia con esta representación es que podemos definir una línea a través de un parámetro que llamamos, una tercera variable, además de las coordenadas cartesianas habituales. Su definición se comprende mejor cuando ya se presenta el concepto de vectores. Vayamos a tu definición:

Una línea se llama parametrizada cuando tiene la forma:

Donde f