Función afín: todo lo que importa

La función afín, también llamada función de primer grado, es una función f: ℝ → ℝ, definida como f (x) = ax + b, ser La y B numeros reales. Las funciones f (x) = x + 5, g (x) = 3√3x – 8 y h (x) = 1/2 x son ejemplos de funciones afines.

En este tipo de función, el número La se llama coeficiente de x y representa la tasa de crecimiento o la tasa de cambio de la función. ya el numero B se llama término constante.

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Gráfico de una función de primer grado

La gráfica de una función polinomial de primer grado es una línea recta oblicua a los ejes Ox y Oy. De esta manera, para construir tu gráfica solo necesitamos encontrar puntos que satisfagan la función.

Ejemplo

Construye la gráfica de la función f (x) = 2x + 3.

Solución

Para graficar esta función, asignemos valores arbitrarios ax, sustitúyalos en la ecuación y calculemos el valor correspondiente para af (x).

Por tanto, calcularemos la función para valores de x iguales a: – 2, – 1, 0, 1 y 2. Sustituyendo estos valores en la función, tenemos:

f (-2) = 2. (-2) + 3 = – 4 + 3 = – 1
f (-1) = 2. (-1) + 3 = – 2 + 3 = 1
f (0) = 2. 0 + 3 = 3
f (1) = 2. 1 + 3 = 5
f (2) = 2. 2 + 3 = 7

Los puntos elegidos y la gráfica de f (x) se muestran en la siguiente imagen:

Gráfico de función afín

En el ejemplo, usamos varios puntos para construir el gráfico, sin embargo, para definir una línea recta, dos puntos son suficientes.

Para facilitar los cálculos podemos, por ejemplo, elegir los puntos (0, y) y (x, 0). En estos puntos, la línea de la función corta el eje Ox y Oy respectivamente.

Coeficiente lineal y angular

Dado que la gráfica de una función afín es una línea recta, el coeficiente La de x también se llama pendiente. Este valor representa la pendiente de la línea con respecto al eje Ox.

el término constante B se llama coeficiente lineal y representa el punto donde la línea corta el eje Oy. Como x = 0, tenemos:

y = a.0 + b ⇒ y = b

Cuando una función afín presenta la pendiente igual a cero (a = 0), la función se llamará constante. En este caso, su gráfica será una línea paralela al eje del Buey.

A continuación representamos la gráfica de la función constante f (x) = 4:

Gráfico de función constante

Mientras que, cuando b = 0 y a = 1, la función se llama función identidad. La gráfica de la función f (x) = x (función identidad) es una línea recta que pasa por el origen (0,0).

Además, esta línea es una bisectriz del 1er y 3er cuadrante, es decir, divide los cuadrantes en dos ángulos iguales, como se muestra en la siguiente imagen:

Gráfico de función de identidad

También tenemos que, cuando el coeficiente lineal es igual a cero (b = 0), la función afín se llama función lineal. Por ejemplo, las funciones f (x) = 2x y g (x) = – 3x son funciones lineales.

La gráfica de funciones lineales son líneas sesgadas que pasan por el origen (0,0).

Representamos a continuación la gráfica de la función lineal f (x) = – 3x:

Gráfico de función lineal

Función ascendente y descendente

Una función aumenta cuando, a medida que asignamos valores cada vez más grandes a x, el resultado de f (x) también será cada vez más grande.

Por otro lado, la función decreciente es aquella que, cuando asignamos valores cada vez mayores a x, el resultado de f (x) será cada vez menor.

Para identificar si una función afín aumenta o disminuye, simplemente verifique el valor de su pendiente.

Si la pendiente es positiva, es decir, La es mayor que cero, la función aumentará. Por el contrario, si La es negativo, la función será descendente.

Por ejemplo, la función 2x ​​- 4 aumenta porque a = 2 (valor positivo). Sin embargo, la función – 2x + – 4 es decreciente ya que a = – 2 (negativo). Estas funciones están representadas en los gráficos siguientes:

Función ascendente y descendente

Lea también sobre ¿qué es la función?

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

En una ciudad determinada, la tarifa que cobran los taxistas corresponde a una parte fija denominada parte insignia y una parte que se refiere a los kilómetros recorridos. Sabiendo que una persona tiene la intención de hacer un viaje de 7 km donde el precio del buque insignia es de R $ 4,50 y el costo por kilómetro recorrido es de R $ 2,75, determine:

a) una fórmula que expresa el valor de la tarifa cobrada en función de los kilómetros recorridos por esa ciudad.
b) cuánto pagará la persona mencionada en el estado de cuenta.

a) Según los datos tenemos que b = 4.5, ya que el banner no depende del número de kilómetros recorridos.

Cada kilómetro recorrido debe multiplicarse por 2,75. Por tanto, este valor será igual a la tasa de cambio, es decir, a = 2,75.

Considerando p (x) el precio de la tarifa, podemos escribir la siguiente fórmula para expresar este valor:

p (x) = 2,75 x + 4,5

b) Ahora que hemos definido la función, para calcular el valor de la tarifa, simplemente reemplace 7 km en lugar de x.

p (7) = 2,75. 7 + 4.5 = 19.25 + 4.5 = 23.75

Por tanto, la persona debe pagar 23,75 BRL para un recorrido de 7 km.

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Ejercicio 2

El dueño de una tienda de ropa de playa tuvo un gasto de R $ 950,00 en la compra de un nuevo modelo de bikini. Tiene la intención de vender cada pieza de este bikini por R $ 50,00. ¿De cuántas piezas vendidas obtendrá beneficios?

Considerando la cantidad de piezas vendidas, la ganancia del comerciante vendrá dada por la siguiente función:

f (x) = 50.x – 950

Cuando calculamos f (x) = 0, encontraremos la cantidad de piezas necesarias para que el comerciante no tenga ni ganancias ni pérdidas.

50.x – 950 = 0
50.x = 950
x = 950/50
x = 19

Entonces, si vendes arriba 19 piezas obtendrá ganancias, si vende menos de 19 piezas, tendrá pérdidas.

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