Logaritmo: todo lo que importa

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Logaritmo de un número b en base a es igual al exponente x al que debe elevarse la base, de modo que la potencia aX igual ab, siendo ayb números reales y positivos y a ≠ 1.

De esta forma, el logaritmo es una operación en la que queremos descubrir el exponente que debe tener una base dada para dar como resultado una determinada potencia.

Por ello, para realizar operaciones con logaritmos es necesario conocer las propiedades de la potenciación.

Definición de logaritmo

Logaritmo

El logaritmo de b se lee en base a, con a> 0 y a ≠ 1 y b> 0.

Cuando se omite la base de un logaritmo, significa que su valor es igual a 10. Este tipo de logaritmo se llama logaritmo decimal.

¿Cómo calcular un logaritmo?

El logaritmo es un número y representa un exponente dado. Podemos calcular un logaritmo aplicando directamente su definición.

Ejemplo

¿Cuál es el valor del registro?3 81?

Solución

En este ejemplo, queremos averiguar qué exponente debemos elevar a 3 para que el resultado sea igual a 81. Usando la definición, tenemos:

Iniciar sesión3 81 = x ⇔ 3X = 81

Para encontrar este valor, podemos factorizar el número 81, como se indica a continuación:

Logaritmo de ejemplo

Reemplazando 81 con su forma factorizada, en la ecuación anterior, tenemos:

3X = 34

Dado que las bases son las mismas, concluimos que x = 4.

Consecuencia de la definición de logaritmos

  • El logaritmo de cualquier base, cuyo logaritmo sea igual a 1, el resultado será igual a 0, es decir, logLa 1 = 0. Por ejemplo, log9 1 = 0, porque 90 = 1.
  • Cuando el logaritmo es igual a la base, el logaritmo será igual a 1, por lo tanto, logLa a = 1. Por ejemplo, log5 5 = 1, porque 51= 5
  • Cuando el logaritmo de La en la base La tiene una potencia m, será igual al exponente m, es decir, logLa Lametro = m, porque usando la definición ametro = ametro. Por ejemplo, log3 35 = 5.
  • Cuando dos logaritmos con la misma base son iguales, los logaritmos también serán iguales, es decir, logLa b = registroLa c ⇔ b = c.
  • La potencia base ay el exponente logarítmicoLa b será igual ab, es decirIniciar sesiónLaB = b.

Propiedades de los logaritmos

  • Logaritmo de un producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de sus logaritmos: LogLa (bc) = RegistroLa b + logLa C
  • Logaritmo de un cociente: El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos: LogLaestilo de inicio tamaño matemático 14px abrir paréntesis b sobre c cerrar paréntesis fin de estilo = RegistroLa BlogLa C
  • Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al producto de esa potencia por el logaritmo: LogLa Bmetro = m. TroncoLa B
  • Cambio de base: Podemos cambiar la base de un logaritmo usando la siguiente relación: estilo de inicio tamaño matemático 14px log con subíndice c igual al log numerador con subíndice c sobre denominador log con subíndice b fin de fracción fin de estilo

EJEMPLOS

1) Escribe los siguientes logaritmos como un solo logaritmo.

un registro3 8 + registro3 10
Blogdos 30 – registrodos 6
c) 4 log4 3

Solución

un registro3 8 + registro3 10 = registro3 8.10 = registro3 80
B) log con espacio de 2 subíndices 30 menos log con espacio de 2 subíndices 6 igual a log con espacio de 2 subíndices abre paréntesis 30 sobre 6 cierra paréntesis igual a log con 2 subíndices 5
c) 4 log4 3 = registro4 34 = registro4 81

2) Escribe el registro8 6 usando el logaritmo en base 2

Solución

log con espacio de 8 subíndices 6 igual al numerador log con espacio de 2 subíndices 6 en el denominador log con espacio de 2 subíndices 8 final de la fracción igual al numerador log con 2 espacios de subíndice 3 más log con 2 subíndice 2 en el denominador log con 2 subíndice 2 al cubo final de la fracción igual al logaritmo del numerador con 2 subíndices 3 más 1 sobre el denominador 3 final de la fracción

Cologaritmo

La llamada cologaritmo es un tipo especial de logaritmo expresado por la expresión:

coloniaLa b = – registroLa B

También podemos escribir eso:

co log con espacio de subíndice b igual a log con espacio de subíndice abre paréntesis 1 sobre b cierra paréntesis

Para obtener más información, consulte también:

Curiosidades sobre los logaritmos

  • El término logaritmo proviene del griego, donde “logos«Significa razón y»aritmos”Corresponde al número.
  • Los creadores de los logaritmos fueron John Napier (1550-1617), matemático escocés, y Henry Briggs (1531-1630), matemático inglés. Crearon este método para facilitar los cálculos más complejos que se conocieron como «logaritmos naturales» o «logaritmos neperianos», en referencia a uno de sus creadores: John Napier.

Ejercicios resueltos

1) Sabiendo que el log espacio 2 asintóticamente igual 0 coma 30 espacio y espacio log espacio 3 asintóticamente igual 0 coma 48, calcula el valor del registro9 64.

Los valores reportados son relativos a los logaritmos decimales (base 10) y el logaritmo que queremos encontrar el valor está en base 9. De esta manera, iniciaremos la resolución cambiando la base. Así:

log con 9 subíndice 64 igual al espacio logarítmico del numerador 64 sobre el espacio logarítmico del denominador 9 fin de la fracción

Factorizando los logaritmos, tenemos:

espacio logarítmico del numerador 2 elevado a 6 sobre el espacio logarítmico del denominador 3 extremo al cuadrado de la fracción

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia y reemplazando los valores de los logaritmos decimales, encontramos:

numerador 6. espacio logarítmico 2 sobre denominador 2. espacio logarítmico 3 fin de fracción igual al numerador 6.0 punto 30 sobre denominador 2.0 punto 48 fin de fracción igual al numerador 1 punto 80 sobre denominador 0 punto 96 fin de fracción igual a 1 punto 875

2) UFRGS – 2014

Asignando log 2 a 0.3, los valores log 0.2 y log 20 son, respectivamente,

a) – 0,7 y 3.
b) – 0,7 y 1,3.
c) 0.3 y 1.3.
d) 0,7 y 2,3.
e) 0,7 y 3.

Primero, calculemos el log 0.2. Podemos empezar escribiendo:

espacio de registro 0 punto 2 igual al espacio de registro abrir paréntesis 2 sobre 10 cerrar paréntesis

Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente, tenemos:

espacio de registro abre paréntesis 2 sobre 10 cierra paréntesis igual al espacio de registro 2 espacio menos espacio espacio de registro 10

Reemplazo de los valores:

espacio de registro 2 espacio menos espacio de registro 10 es igual a 0 coma 3 menos 1 es igual a menos 0 coma 7

Ahora, calculemos el valor de log 20, para eso, escribamos 20 como el producto de 2.10 y apliquemos la propiedad del logaritmo del producto. Así:

espacio de registro 20 igual al espacio de registro 2.10 igual al espacio de registro 2 más espacio de registro 10 igual a 0 punto 3 más 1 igual a 1 punto 3

Alternativa: b) – 0,7 y 1,3

Para obtener más preguntas sobre logaritmos, consulte Logaritmo: ejercicios.

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