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LA lógica matemática analiza una proposición dada buscando identificar si representa un enunciado verdadero o falso.
En un principio, la lógica estaba ligada a la filosofía, habiendo sido iniciada por Aristóteles (384-322 aC) quien se basaba en la teoría del silogismo, es decir, en argumentos válidos.
La lógica solo se convirtió en un área de las matemáticas después de los trabajos de George Boole (1815-1864) y Augustus de Morgan (1806-1871), cuando presentaron los fundamentos de la lógica algebraica.
Este cambio de paradigma ha hecho de la lógica matemática una herramienta importante para la programación de computadoras.
Proposiciones
Las proposiciones son palabras o símbolos que expresan un pensamiento con un sentido completo e indican declaraciones de hechos o ideas.
Estas declaraciones asumen valores lógicos que pueden ser verdaderos o falsos y para representar una proposición usualmente usamos las letras PAG y q.
Ejemplos son las proposiciones:
- Brasil está ubicado en América del Sur (propuesta verdadera).
- La Tierra es uno de los planetas del sistema solar. (proposición verdadera).
-
(proposición verdadera). - La tierra es plana. (proposición falsa).
-
. (proposición falsa)
Considerando la lógica matemática, una proposición no puede ser tanto verdadera como falsa. Además, no hay posibilidad de una tercera situación que no sea verdadera o falsa.
Las proposiciones pueden ser simples, cuando tienen una sola oración, y compuestas cuando están formadas por la combinación de dos o más proposiciones simples.
«El cielo es azul» es un ejemplo de una proposición simple, mientras que la oración «El cielo es azul y las nubes son blancas» es un ejemplo de una proposición compuesta.
Conectivos
Las proposiciones simples que componen una proposición compuesta están vinculadas por elementos que se denominan conectivos. Además, también podemos utilizar conectores para modificar una propuesta.
En la proposición «El cielo es azul y las nubes son blancas» el elemento y es un conectivo que une dos proposiciones, ya en la proposición «El cielo no es azul» el conectivo No modifica la proposición.
Mesa de la verdad
Cuando tenemos proposiciones compuestas, los valores lógicos resultantes dependen única y exclusivamente de los valores de cada proposición simple.
Por lo tanto, utilizamos un dispositivo llamado tabla de verdad o tabla de verdad, donde se colocan los valores de cada proposición y de acuerdo con las conectivas presentes llegamos al valor lógico final.
En una tabla de verdad, el número de filas y columnas dependerá del número de proposiciones simples que componen la proposición compuesta, con cada proposición colocando una columna en cada columna.
A continuación presentamos la tabla de verdad para dos, tres y cuatro proposiciones:
Operaciones lógicas
Las operaciones hechas a partir de proposiciones se llaman operaciones lógicas. Este tipo de operación sigue las reglas del llamado cálculo proposicional.
Las operaciones lógicas fundamentales son: negación, conjunción, disyunción, condicional y biconddicional.
Negación
Esta operación representa el valor lógico opuesto de una proposición dada. Por tanto, cuando una proposición es verdadera, la no proposición será falsa.
Para indicar la negación de una proposición, colocamos el símbolo ~ delante de la letra que representa la proposición, así, ~p significa la negación de p.
Ejemplo
P: Mi hija estudia mucho.
~P: Mi hija no estudia mucho.
Dado que el valor lógico de la no proposición es el inverso de la proposición, tendremos la siguiente tabla de verdad:
Conjunción
La conjunción se usa cuando entre las proposiciones existe el conectivo y. Esta operación será verdadera cuando todas las proposiciones sean verdaderas.
El símbolo utilizado para representar esta operación es el ^, colocado entre las proposiciones. De esta manera, cuando tenemos p ^ q, significa «pequeño».
De esta forma, la tabla de verdad de este operador lógico será:
Ejemplo:
Si p: 3 + 4 = 7 eq: 2 + 12 = 10, ¿cuál es el valor lógico de p ^ q?
Solución
La primera proposición es verdadera, pero la segunda es falsa. Por lo tanto, el valor lógico de pyq será falso, ya que este operador solo será verdadero cuando ambas oraciones sean verdaderas.
Disyunción
En esta operación, el resultado será verdadero cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera. Por lo tanto, será falso solo cuando todas las proposiciones sean falsas.
La disyunción se usa cuando entre las proposiciones está el conectivo o y para representar esta operación se usa el símbolo v entre las proposiciones, así, p v q significa «poq».
Teniendo en cuenta que si una de las proposiciones es verdadera el resultado será verdadero, tenemos la siguiente tabla de verdad:
Condicional
El condicional es la operación realizada cuando el conectivo se usa en la proposición si entonces …. Para representar este operador usamos el símbolo →. Por tanto, p → q significa «si p, entonces q».
El resultado de esta operación solo será falso cuando la primera proposición sea verdadera y la consecuente falsa.
Es importante enfatizar que una operación condicional no significa que una proposición sea consecuencia de la otra, lo que estamos tratando son solo relaciones entre valores lógicos.
Ejemplo
¿Cuál es el resultado de la proposición «Si un día tiene 20 horas, entonces un año tiene 365 días»?
Solución
Sabemos que un día no tiene 20 horas, entonces esta proposición es falsa, también sabemos que un año tiene 365 días, entonces esta proposición es verdadera.
De esta forma, el resultado será verdadero, ya que el operador condicional solo será falso cuando el primero sea verdadero y el segundo falso, lo cual no es el caso.
La tabla de verdad para este operador será:
Bicondicional
El operador bicondicional está representado por el símbolo 
e indica una proposición del tipo … si y solo si …. Entonces, 
significa «p si y solo si q», es decir, p es una condición necesaria y suficiente para q.
Al usar este operador, la oración será verdadera cuando las proposiciones sean ambas verdaderas o ambas falsas.
Los posibles resultados que podemos encontrar al utilizar este operador se encuentran en la siguiente tabla:
Ejemplo
¿Cuál es el resultado de la proposición «30 = 2 si solo si 2 + 5 = 3 «?
Solución
La primera igualdad es falsa, ya que 30 = 1 y el segundo también es falso (2 + 5 = 7), entonces, como ambos son falsos, entonces el valor lógico de la proposición es verdadero.
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