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Las Matrices y los Determinantes son conceptos que se utilizan en matemáticas y en otras áreas como, por ejemplo, la informática.
Se representan en forma de tablas que corresponden a la unión de números reales o complejos, organizados en filas y columnas.
Definición de matriz
En primer lugar, debemos prestar atención al concepto de matriz. Es una representación matemática que incluye en líneas (horizontal) y columnas (vertical) algunos números naturales distintos de cero.
Los números, llamados elementos, se representan entre paréntesis o corchetes.
[ width=»450″] Representaciones de una matriz
Sede
LA Sede es un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. Las líneas están representadas por la letra ‘m’ mientras que las columnas por la letra ‘n’, donde n ≥ 1 y m ≥ 1.
En las matrices podemos calcular las cuatro operaciones: suma, resta, división y multiplicación:
EJEMPLOS:
Una matriz de orden m por n (mxn)
LA = | 1 0 2 4 5 |
Por tanto, A es una matriz de orden 1 (con 1 fila) por 5 (5 columnas)
Lee 1 x 5 matriz
El logotipo B es una matriz de orden 3 (con 3 filas) para 1 (1 columnas)
Lee Matriz 3 x 1
Obtenga más información leyendo los artículos:
Determinante
El determinante es un número asociado con una matriz cuadrada, es decir, una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas (m = n).
En este caso, se llama Matriz Cuadrada de orden n. En otras palabras, cada matriz cuadrada tiene un determinante, ya sea un número o una función asociada:
Ejemplo:
Entonces, para calcular el determinante de la matriz cuadrada:
- Las primeras 2 columnas deben repetirse
- Encuentra las diagonales y multiplica los elementos, sin olvidar cambiar el signo en el resultado de la diagonal secundaria:
- Diagonal principal (de izquierda a derecha): (1, -9.1) (5.6.3) (6, -7.2)
- Diagonal secundaria (de derecha a izquierda): (5, -7.1) (1.6.2) (6, -9.3)
Por lo tanto, el determinante de la matriz 3×3 = 182.
Tipos de matrices:
Matrices especiales
Hay cuatro tipos de matrices especiales:
- Matriz de línea: formado por una sola línea, por ejemplo:
- Matriz de columnas: formado por una sola columna, por ejemplo:
- Matriz nula: formado por elementos iguales a cero, por ejemplo:
- Matriz cuadrada: formado por el mismo número de filas y columnas, por ejemplo:
Matriz transpuesta
La matriz transpuesta (indicada por la letra t) es aquella que presenta los mismos elementos de una fila o columna en comparación con otra matriz.
Sin embargo, los mismos elementos entre los dos están invertidos, es decir, la línea de uno tiene los mismos elementos que la columna del otro. O bien, la columna de uno tiene los mismos elementos que la fila del otro.
Matriz opuesta
En la matriz opuesta, los elementos entre dos matrices muestran signos diferentes, por ejemplo:
Matriz de identidad
La matriz de identidad ocurre cuando los elementos diagonales principales son todos iguales a 1 y los otros elementos son iguales a 0 (cero):
Matriz inversa
La matriz inversa es una matriz cuadrada. Ocurre cuando el producto de dos matrices es igual a una matriz identidad cuadrada del mismo orden.
LA . B = B. A = yonorte (cuando la matriz B es inversa a la matriz A)
Nota: Para encontrar la matriz inversa, se usa la multiplicación de matrices.
Matriz de igualdad
Cuando tenemos matrices iguales, los elementos de las filas y columnas se corresponden:
Ejercicios vestibulares con retroalimentación
1. (UF Uberlândia-MG) LA, B y C matrices cuadradas de orden 2, tales que A. B = I, donde I es la matriz de identidad.
La matriz X al igual que A. X. A = C es igual a:
a) B. C . B
b) (Ados) -1 . C
c) C. (LA-1)dos
da . C . B
dos. (FGV-SP) A y B son matrices y At es la transposición de A.
Si y , luego la matriz At . B será nulo para:
a) x + y = – 3
b) x. y = 2
c) x / y = – 4
d) x. ydos = – 1
e) y / x = – 8
3. (UF Pelotas-RS) Cada elemento aij de la matriz T indica el tiempo, en minutos, que un semáforo está abierto, en un lapso de 2 minutos, para el flujo de autos desde la calle I a la calle j, considerando que cada calle tiene una calle de doble sentido.
Según la matriz, el semáforo que permite a los coches pasar del carril 2 al carril 1 está abierto durante 1,5 min durante un período de 2 min.
Con base en el texto y asumiendo que es posible que pasen hasta 20 autos por minuto cada vez que se abre el semáforo, es correcto decir que, de 8 am a 10 am, considerando el flujo que indica la matriz T, el número máximo de coches que pueden moverse de la calle 3 a la calle 1 es:
a) 300
b) 1200
c) 600
d) 2400
e) 360
Multiplicación de matrices:
La multiplicación de matrices corresponde a la producto entre dos matrices. El número de filas en la matriz está definido por la letra metro y el número de columnas por letra norte.
La letra I y j representan los elementos presentes en las filas y columnas respectivamente.
A = (aij)mxn
Ejemplo: A3×3 (la matriz A tiene tres filas y tres columnas)
Nota: Es importante tener en cuenta que en la multiplicación de matrices, el orden de los elementos afecta el resultado final. Es decir, no es conmutativo:
LA . B ≠ B. LA
Cálculo: ¿cómo multiplicar matrices?
Deje que las matrices A = (aij)mxn y B = (bjk)nxp
LA . B = matriz D = (dik)mxp
dónde,
Dik = ai1 . B1k + uni2 . B2k + … + aen . Bnk
Para calcular el producto entre las matrices, debemos tener en cuenta algunas reglas:
Para poder calcular el producto entre dos matrices, es esencial que el norte igual a PAG (n = p).
Es decir, el número de columnas de la primera matriz (norte) debe ser igual al número de líneas (PAG) de la segunda matriz.
La resultante del producto entre las matrices será: ABmxp. (número de filas en la matriz A por el número de columnas en la matriz B).
vea también: Matrices
Ejemplo de multiplicación de matrices
En el siguiente ejemplo, tenemos que la matriz A es de tipo 2×3 y la matriz B es de tipo 3×2. Por lo tanto, el producto entre ellos (matriz C) resultará en una matriz de 2×2.
Inicialmente vamos a multiplicar los elementos de línea 1 de A con los de columna 1 de B. Una vez encontrados los productos, sumaremos todos estos valores:
dos . 1 + 3. 0 + 1. 4 = 6
Por tanto, vamos a multiplicar y sumar los elementos de línea 1 de A con el columna 2 de B:
dos . (-2) + 3. 5 + 1. 1 = 12
Después de eso, pasemos a línea 2 de A y multiplicar y sumar con el columna 1 de B:
(-1). 1 + 0. 0 + 2. 4 = 7
Todavía en línea 2 de A, multipliquemos y sumemos con el columna 2 de B:
(-1). (-2) + 0. 5 + 2. 1 = 4
Finalmente, tenemos que multiplicar A. B es:
Multiplicar un número real por una matriz
En el caso de multiplicar un número real por una matriz, debes multiplicar cada elemento de la matriz por ese número:
Matriz inversa
La matriz inversa es un tipo de matriz que usa la propiedad de multiplicación:
LA . B = B. A = In (cuando la matriz B es inversa a la matriz A)
Tenga en cuenta que la matriz inversa de A está representada por A-1.
Ejercicios vestibulares con retroalimentación
1. (PUC-RS) Siendo
y C = A. B, elemento C33 de la matriz C es:
a) 9
b) 0
c) -4
d) -8
e) -12
dos. (UF-AM) Ser
y AX = 2B. Entonces la matriz X es igual a:
La)
B)
C)
D)
y)
3. (PUC-MG) Considere las matrices de elementos reales
Sabiendo que. B = C, se puede decir que la suma de los elementos de LA Su:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
Curiosidades
- Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) fue un matemático francés que inventó un método para encontrar los determinantes de matrices cuadradas de orden 3 (3×3) conocido como la «Regla de Sarrus».
- El «Teorema de Laplace», un método para calcular el determinante de cualquier tipo de matriz cuadrada, fue inventado por el matemático y físico francés Pierre Simon Marqués de Laplace (1749-1827).
- Los determinantes considerados nulos son aquellos en los que la suma de los elementos de cualquiera de las diagonales es igual a cero.
- Hay tipos de Matrices Cuadradas: Matriz de Identidad, Matriz Inversa, Matriz Singular, Matriz Simétrica, Matriz Positiva Definida y Matriz Negativa. También hay matrices transpuestas y opuestas.