oscilación baja latina oscillatio -onis

Fenómeno caracterizado por una o más cantidades oscilantes.

Presentes en casi todas las áreas de la física, las oscilaciones forman parte de nuestro universo cotidiano. Sin embargo, la comprensión fina y rigurosa de los fenómenos periódicos no comenzó hasta xvii^mi s. con el advenimiento de los grandes principios de la mecánica. El método desarrollado ha demostrado ser muy exitoso porque, cualquiera que sea la naturaleza del sistema, la descripción utilizada tiene un alcance general. Esta herramienta es fundamental hoy en día en acústica, electricidad o construcción técnica.

Movimiento periódico

Un fenómeno se califica como «periódico» si se reproduce de manera idéntica en momentos separados por una duración constante, denominada período. Por ejemplo, el latido del corazón de un individuo en reposo es periódico, con un período del orden de un segundo.

La inversa del período se llama frecuencia. Su unidad física es hercios (Hz). Las frecuencias a veces se dan en «períodos» porque representan el número de oscilaciones por segundo. Así, coloquialmente llamamos “los cincuenta periodos” a la corriente alterna de la red, cuya frecuencia es de 50 Hz.

El enfoque más simple es estudiar un sistema que pueda describirse completamente mediante una sola variable. Hablamos entonces de un sistema con un solo grado de libertad.

El oscilador armónico

Llamamos oscilador armónico un móvil cuyo movimiento se rige por una relación de proporcionalidad entre su aceleración y su posición con respecto a un punto de referencia. El hecho de que la velocidad esté ausente en la ecuación de movimiento da como resultado la conservación de la energía mecánica. En el modelo del oscilador armónico, se supone que el movimiento no está amortiguado. Sin embargo, cuando la amortiguación es muy baja, podemos utilizarla y calcular el movimiento en un intervalo de tiempo bastante corto, lo que permite despreciar cualquier efecto de disipación. Además, el término de proporcionalidad de la relación debe ser negativo. Por tanto, la ecuación matemática del movimiento es: γ = Ax, donde γ es la aceleración del móvil, x su desplazamiento, con A <0. Estableciendo A = - ω² (que siempre es posible, porque A es negativo), obtenemos la ecuación del oscilador armónico: γ + ω² x = 0. Esta forma es interesante, porque permite decir que el desplazamiento x del móvil, solución de esta ecuación, es una función sinusoidal del tiempo, de la pulsación ω.

El sistema de resorte de masa

El oscilador armónico más simple y fácil de estudiar es el sistema que consta de una masa y un resorte. Primero, asumiremos que este sistema está instalado en un plano horizontal. El resorte, cuya masa es despreciable, está fijado en uno de sus extremos en un punto del plano; la masa está unida a su otro extremo. Para que se pueda descuidar la amortiguación del movimiento, es necesario que el contacto entre la masa y el plano se realice con la menor fricción posible. Ubicamos la posición de equilibrio de la masa, luego la movemos y la dejamos ir. Para describir el movimiento, utilizamos el principio fundamental de la dinámica, que supone la igualdad entre el producto de la masa por la aceleración y la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Entonces, ¿cuáles son las fuerzas que actúan sobre la masa?

Está, por supuesto, la acción del resorte, pero también el peso y la reacción del avión sobre la masa. Como es horizontal, estas dos últimas fuerzas se equilibran entre sí; todo lo que queda es la acción del resorte sobre la masa. Es una fuerza de recordatorio, porque tiende a devolver la masa a su posición de equilibrio, cuya intensidad es proporcional al desplazamiento con respecto a esta posición. Por tanto, la escritura matemática del principio de dinámica da: mγ = – kx.

Denotamos por m el valor de la masa, por γ la aceleración de la parte móvil, por k la rigidez característica del resorte y por x el desplazamiento de la masa con respecto a su posición de equilibrio.

Al dividir los dos términos por masa, expresamos la ecuación en la forma clásica de osciladores armónicos:

Por tanto, el sistema es un oscilador armónico cuya pulsación es igual a la raíz cuadrada de la relación entre la rigidez del resorte y la masa:

El movimiento de la masa es sinusoidal, de pulsación ω. Es interesante notar que este último es independiente condiciones iniciales de movimiento. Obviamente, es lo mismo para el período de las oscilaciones, que es proporcional a la inversa de esta pulsación. En lugar de hacer que la masa oscile en un plano horizontal, se puede suspender del resorte y hacer que oscile verticalmente. Se muestra fácilmente que el sistema sigue siendo un oscilador armónico, con el mismo pulso que antes.

El péndulo simple

Un péndulo simple está formado por una pequeña masa suspendida de un alambre de una longitud determinada. Si se aleja de su posición de equilibrio, oscila en un arco de círculo. Al examinar cuidadosamente las diferentes fuerzas que actúan sobre la masa y luego relacionarlas con la aceleración angular, encontramos que el péndulo simple no es un oscilador armónico para todos los rangos de movimiento. Sin embargo, el comportamiento del péndulo es muy cercano al de un oscilador armónico para pequeñas oscilaciones alrededor de la posición vertical de equilibrio. Dentro de este límite de amplitud, el péndulo simple es casi un oscilador armónico, cuya pulsación es igual a la raíz cuadrada de la relación de la aceleración de la tierra sobre la longitud del cable:

El período de oscilación también depende de las mismas cantidades físicas pero no de la amplitud inicial del movimiento, siempre que sea pequeño. Galileo parece haber sido el primero en advertir este isocronismo de pequeñas oscilaciones, viendo, si hemos de creer la leyenda, un candelabro que se balancea durante una misa interminable … En cualquier caso, es esta propiedad la que trae Christiaan Huygens, de 1655, utilizar el péndulo para regular un reloj, cuya precisión gana así, de golpe, un factor de mil; los modelos anteriores, regulados por la elasticidad de una hoja, eran incluso menos precisos que los relojes de agua. El reloj de péndulo se las arregla rápidamente para mantener los segundos durante veinticuatro horas. En cuanto a los relojes, también estarán regulados por un péndulo, pero de un tipo completamente diferente: un volante móvil alrededor de un eje es devuelto a su posición de equilibrio por un resorte en espiral. Este sistema es más bien la transposición, en un movimiento de rotación, del sistema masa-resorte discutido anteriormente. El cuadrado de su pulsación sigue siendo igual a la relación entre el término de recuperación y el término de inercia. La primera, siempre característica del resorte, es un par por ángulo de torsión, en lugar de una fuerza por metro de alargamiento. El segundo, en lugar de la masa, es el momento de inercia del volante.

El péndulo cerca del ecuador

En 1671, el astrónomo francés Jean Richer instaló en Cayenne, Guyana, un observatorio que debería permitirle realizar, en colaboración con Jean Dominique Cassini en París, la primera medición de las dimensiones del sistema solar. Sin embargo, Richer señala que el péndulo de un reloj late más lentamente en Cayena que en París. Por tanto, la gravedad es más débil allí. Este descubrimiento permite a Isaac Newton, unos años más tarde, predecir el aplanamiento de la Tierra en los polos, lo que implica, en efecto, que París está más cerca del centro de la Tierra que Cayena.

La analogía eléctrica

Si conectamos un condensador cargado a una bobina de resistencia despreciable, obtenemos un circuito donde la carga eléctrica oscila entre las dos placas del condensador. La igualdad de los voltajes en los terminales de cada uno de los dos dipolos permite escribir una ecuación que relaciona la carga q con su segunda derivada con respecto al tiempo:

De hecho, el sistema es un oscilador armónico. Su pulsación es la inversa de la raíz cuadrada del producto de las características de los dipolos (L es la autoinducción de la bobina y C la capacitancia del capacitor):

Por tanto, la carga eléctrica q, la intensidad i y la diferencia de potencial U varían en función del tiempo de forma sinusoidal:

q = q_oω pecado_ωt + φ)

yo = q = q_oω cos (_ωt + φ)

Además de sus muchas aplicaciones en electrónica, este circuito permite modelar simplemente un sistema de resorte de masa; la masa se puede representar por la autoinducción de la bobina y la rigidez del resorte por la inversa de la capacitancia del condensador. De la misma manera, circuitos más sofisticados permiten modelar sistemas de masa y resortes más complejos y, por lo tanto, estudiarlos de manera más conveniente; De hecho, es más fácil girar la perilla de un condensador variable que modificar la rigidez de un resorte …

Además, así como el contacto entre la masa y el plano fue sin fricción, notamos que la bobina no tiene resistencia. En ambos casos, el objetivo es evitar la depreciación.

Depreciación

Si no se descuidan más las fricciones (o la resistencia total, en el caso del circuito), se introduce en la ecuación de la dinámica un término adicional, relacionado, más a menudo, con la velocidad. Aunque la fricción puede deberse a causas muy diversas, aquí solo nos interesa la fricción viscosa, que se expresa en la ecuación de movimiento en forma de fuerza disipativa, relacionada con la velocidad. Generalmente hacemos la hipótesis de proporcionalidad entre esta fuerza y ​​la velocidad del móvil. Existe, de manera similar, un componente eléctrico, la resistencia, que provoca una caída de voltaje, proporcional a la intensidad de la corriente que lo atraviesa. Si la comparación entre el sistema mecánico y el circuito eléctrico aún es posible, no hay ningún comportamiento más armónico. La función que describe el movimiento del móvil y la que describe la carga eléctrica ya no son sinusoidales; cada uno de los sistemas transforma parte de su energía mecánica o eléctrica en calor, y las oscilaciones se amortiguan. Incluso pueden desaparecer si la amortiguación es lo suficientemente alta. El límite de la amortiguación más allá del cual no hay más oscilaciones se llamaamortiguación crítica. En el caso de que todavía haya oscilaciones, su pseudoperíodo es mayor que el período del oscilador no amortiguado. Esta diferencia aumenta con la depreciación.

Tiempo de relajacion

El tiempo de relajación es una característica del oscilador amortiguado. Para comprender su función, podemos usar el sistema masa-resorte agregando una fuerza de fricción. Este último, que suponemos proporcional a la velocidad, siempre se opone al avance del sistema; así justificamos el signo negativo de esta fuerza en la ecuación de movimiento. Por tanto, la aplicación del principio fundamental de la dinámica da: m γ = -; Av – kx, o de nuevo:

Como hemos visto para el oscilador armónico, el coeficiente de desplazamiento corresponde al cuadrado de la pulsación del oscilador no amortiguado. Lo notamos ω²₀.

Definimos el tiempo de relajacion del sistema por la inversa del coeficiente de velocidad. Al denotarlo por τ, la ecuación de movimiento se convierte en:

La pulsación del oscilador no amortiguado ω₀ y el tiempo de relajación τ describen completamente el oscilador amortiguado. Si el amortiguamiento es bajo, la multiplicación de estas dos características da un valor mucho mayor que la unidad. Así, para una cuerda de piano, que debe estar un poco amortiguada para emitir un sonido, este producto es del orden de mil. Otro cálculo muestra que se alcanza una amortiguación crítica cuando este producto vale 0,5.