Permutación: que es, fórmulas y ejemplos

La permutación es una técnica de conteo que se usa para determinar cuántas formas hay de ordenar los elementos de un conjunto finito. Hacer un intercambio es hacer un intercambio y, en el caso de problemas combinatorios, significa intercambiar los elementos de lugar, considerando su ordenamiento.

Estas técnicas forman parte de un campo de las Matemáticas denominado Análisis Combinatorio, que tiene como objetivo comprender y contar las diferentes formas de organizar conjuntos y sus elementos. La permutación simple y repetida se ocupa de esta categoría de problemas.

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Permutación simple

Una permutación simple es el orden de los elementos de un conjunto finito, cuando su los elementos no se repiten, son distintos. Se utiliza para determinar la cantidad de estos tipos.

La cantidad P con n suscrito de permutaciones de un conjunto de n elementos es igual an! (lee n factorial).

La fórmula para determinar el número de permutaciones simples es

P con n espacio de subíndice igual an espacio factorial

Considere un conjunto con n elementos. Para organizarlos en cola, debemos elegir el primero y, para eso, tenemos n posibilidades. Para elegir la segunda, tenemos (n-1) posibilidades, una menos, porque ya usamos una opción al elegir la primera. Este proceso continúa hasta que solo queda un elemento.

Orden de los elementos y sus posibilidades.
Órdenes de los elementos y sus posibilidades.

Para determinar el número total de permutaciones, multiplicamos el número de posibilidades que existen en la elección de cada elemento. De esa forma:

n signo de multiplicación paréntesis izquierdo n menos 1 paréntesis derecho signo de multiplicación paréntesis izquierdo n menos 2 paréntesis derecho signo de multiplicación espacio elipsis horizontal signo de multiplicación 3 espacio x espacio 2 espacio x espacio 1

La expresión anterior se llama factorial de ny usamos el símbolo ¡norte!.

Obtenga más información sobre factorial aquí.

Ejemplo:

Las diferentes formas de organizar las letras de una palabra se denominan anagramas. ¿Cuántos anagramas hay para la palabra PATO?

Estas son las posibilidades:

Orden de los elementos y sus posibilidades.
Orden de los elementos y sus posibilidades.

Entonces, como la palabra PATO tiene 4 letras, tenemos que

P con 4 subíndices espacio igual al espacio 4 espacio factorial igual al espacio 4 espacio x espacio 3 espacio x espacio 2 espacio x espacio 1 espacio igual al espacio 24

Entonces, hay 24 permutaciones simples para la palabra PATO.

Ejercicios simples de permutación

Pregunta 1

Calcule el valor de P con 7 subíndice.

Pregunta 2

Considere una cola de personas organizadas por orden de llegada donde hay seis personas en un momento dado. ¿De cuántas formas diferentes se podría ordenar a estas personas de la primera a la última?

Pregunta 3

Considere la palabra HORQUILLA y responda las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos anagramas de la palabra GARFO hay?

b) ¿Cuántos anagramas comienzan con la letra A?

c) ¿Cuántos anagramas hay en caso de que las vocales estén siempre una al lado de la otra?

Una posibilidad sería GRFA O.

Hay tres formas de ordenar las consonantes. P3 = 3 x 2 x 1 = 6

Hay dos formas de ordenar las vocales. P2 = 2 x 1 = 2

Todavía hay dos formas más de organizar los grupos (consonantes y vocales) entre sí. P2 = 2 x 1 = 2

Ahora solo multiplica los resultados.

P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24

Por lo tanto, hay 24 anagramas, en cuyo caso las vocales siempre están juntas.

Permutación con repetición

Una permutación con elementos repetidos ocurre cuando en un conjunto de n elementos, algunos de estos son iguales.

En la fórmula para determinar el número de permutaciones con repetición, dividimos el factorial del número total n de elementos, por el producto entre los factoriales de los elementos que se repiten.

P con n subíndice con paréntesis izquierdo espacio de coma b espacio de coma c espacio de coma puntos suspensivos horizontales paréntesis derecho superíndice final del espacio de superíndice igual al numerador n factorial sobre denominador a signo de multiplicación factorial b signo de multiplicación factorial c fin de fracción factorial

P con n suscrito es el número de permutaciones de n elementos.

un espacio de coma b espacio de coma c espacio de coma puntos suspensivos horizontales son el número de elementos de cada tipo que se repiten.

n factorial es el factorial del número total de elementos n.

EJEMPLOS

Determinamos cuántas permutaciones hay para la palabra OVO. Para hacerlo más fácil, coloreemos las letras. Veamos los anagramas de la palabra OVO.

N un espacio espacio práctico el espacio que sigue a las permutaciones del espacio espacio es igual a espacio solo espacio a a.  Espacio OVOOVO Así que el espacio como OOVOOVT amb es un espacio con espacio VOOVOO

El número de permutaciones simples con 3 elementos viene dado por

P con 3 subíndices espacio igual al espacio 3 espacio factorial igual al espacio 3 espacio x espacio 2 espacio x espacio 1 espacio igual al espacio 6

Sin embargo, algunas permutaciones se repiten y no podemos contarlas dos veces. Para eso debemos dividir el valor de P con 3 subíndices (porque la palabra tiene tres letras), por P con 2 subíndices (porque la letra O se repite dos veces).

P con n espacio de subíndice igual al espacio del numerador 3 factorial sobre el denominador 2 factorial final del espacio de la fracción igual al espacio del numerador 3 signo de multiplicación 2 signo de multiplicación 1 sobre el denominador 2 signo de multiplicación 1 extremo del espacio de fracción igual al espacio 6 sobre 2 espacio igual al espacio 3

Por lo tanto, el número de permutaciones de las letras de la palabra OVO es igual a 3.

Veamos este otro ejemplo en el que definiremos el número de permutaciones de las letras de la palabra BANANA.

P con 6 subíndice con paréntesis izquierdo Una coma N paréntesis derecho superíndice final del superíndice igual al numerador 6 factorial sobre denominador 3 signo de multiplicación factorial 2 final factorial de fracción

Dónde:

P con 6 subíndice con paréntesis izquierdo A coma N paréntesis derecho superíndice fin del superíndice significa permutación con 6 elementos donde se repiten las letras A y N.

3! por lo tanto, la letra A se repite tres veces.

¡dos! porque la letra N se repite dos veces.

¡Un consejo para facilitar el cálculo es desarrollar 6! hasta llegar a 3 !, haciendo la simplificación con el denominador. Ver desarrollo.

P con 6 subíndice con paréntesis izquierdo Una coma N paréntesis derecho superíndice final del espacio del superíndice igual al numerador 6 signo de multiplicación 4 signo de multiplicación 3 factorial sobre denominador 3 signo de multiplicación factorial 2 factorial final del espacio de fracción texto cortando el 3!  final del texto P con 6 subíndice con paréntesis izquierdo Una coma N paréntesis derecho espacio en superíndice final del sobre igual al numerador 6 signo de multiplicación 5 signo de multiplicación 4 sobre denominador 2 signo de multiplicación 1 final del espacio de fracción igual al espacio 120 sobre 2 espacio igual a espacio 60 espacio

Por lo tanto, el número de permutaciones de las letras de la palabra BANANA es igual a 60.

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