Polígonos: toda la materia

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polígonos son figuras planas y cerradas formadas por segmentos de línea recta. La palabra «polígono» proviene del griego y constituye la unión de dos términos «escuela politécnica» y «vamos«que significa» muchos ángulos «.

Los polígonos pueden ser simples o complejos. Los polígonos simples son aquellos cuyos segmentos consecutivos que los forman no son colineales, no se cruzan y se tocan solo en los extremos.

Cuando hay una intersección entre dos lados no consecutivos, el polígono se llama complejo.

Polígono convexo y cóncavo

La unión de las líneas que forman los lados de un polígono con su interior se llama región poligonal. Esta región puede ser convexa o cóncava.

Los polígonos simples se denominan convexos cuando cualquier línea que une dos puntos, pertenecientes a la región poligonal, se insertará completamente en esta región. En el caso de polígonos cóncavos, esto no sucede.

Polígono convexo y cóncavo gif animado

Polígonos regulares

Cuando un polígono tiene todos los lados congruentes entre sí, es decir, tienen la misma medida, se llama equilátero. Cuando todos los ángulos tienen la misma medida, se llama equi-ángulo.

Los polígonos convexos son regulares cuando tienen lados y ángulos congruentes, es decir, son tanto equiláteros como equiangulares. Por ejemplo, el cuadrado es un polígono regular.

Polígono regular

Elementos de polígono

  • Vértice: corresponde al punto de encuentro de los segmentos que forman el polígono.
  • Lado: corresponde a cada segmento de línea que une vértices consecutivos.
  • Anglos: usted ángulos internos corresponden a los ángulos formados por dos lados consecutivos. Por otro lado, ángulos externos son los ángulos formados por un lado y por la extensión del lado que lo sigue.
  • Diagonal: corresponde al segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos, es decir, un segmento de recta que pasa por el interior de la figura.

Elementos de un polígono

Nomenclatura de polígono

Dependiendo del número de lados presentes, los polígonos se clasifican en:

Nomenclatura poligonal

Obtenga más información sobre los cuadriláteros.

Suma de los ángulos de un polígono

La suma de los ángulos externos de los polígonos convexos es siempre igual a 360º. Sin embargo, para obtener la suma de los ángulos internos de un polígono es necesario aplicar la siguiente fórmula:

S con i subíndice igual al paréntesis izquierdo n menos 2 espacio entre paréntesis derecho.  180º espacio

Ser:

norte: número de lados del polígono

Ejemplo

¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un icoságono convexo?

Solución

El icoságono convexo es un polígono que tiene 20 lados, es decir n = 20. Aplicando este valor en la fórmula, tenemos:

S con i subíndice igual al paréntesis izquierdo 20 menos 2 paréntesis derecho. 180º S con i subíndice igual a 18,180º S con i subíndice igual a 3 espacio 240º

Por tanto, la suma de los ángulos internos del icoságono es igual a 3240º.

Numero de diagonales

Para calcular el número de diagonales de un polígono, se utiliza la siguiente fórmula:

d es igual al numerador n.  paréntesis izquierdo n menos 3 paréntesis derecho sobre el denominador 2 final de la fracción

Ejemplo

¿Cuántas diagonales tiene un octágono convexo?

Solución

Considerando que el octágono tiene 8 lados, aplicando la fórmula tenemos:

d igual al numerador 8. paréntesis izquierdo 8 menos 3 paréntesis derecho sobre el denominador 2 final de la fracción d igual al numerador 8.5 sobre el denominador 2 final de la fracción d igual a 40 sobre 2 igual a 20 espacio

Por lo tanto, un octágono convexo contiene 20 diagonales.

En la siguiente tabla, tenemos el valor de la suma de los ángulos internos y el número de diagonales de los polígonos convexos según el número de lados:

Ángulos diagonales e internos

Perímetro y área de polígonos

El perímetro es la suma de las medidas de todos los lados de una figura. Así, para conocer el perímetro de un polígono, basta con sumar las medidas de los lados que lo componen.

El área se define como la medida de su superficie. Para encontrar el valor del área de un polígono, usamos fórmulas según el tipo de polígono.

Por ejemplo, el área del rectángulo se calcula multiplicando la medida del ancho por la longitud.

El área del triángulo es igual a la multiplicación de la base por la altura y el resultado se divide por 2.

Para aprender a calcular el área de otros polígonos, lea también:

Fórmula del área del polígono desde el perímetro

Cuando conocemos el valor del perímetro de un polígono regular, podemos usar la siguiente fórmula para calcular su área:

A igual a p.  La

Ser:

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PAG: semiperímetro (la medida del perímetro dividida por 2).
La: apótema

Apotema del polígono

vea también: Área hexagonal

Ejercicios resueltos

1) CEFET / RJ – 2016

El patio trasero de la casa de Manoel está formado por cinco cuadrados ABKL, BCDE, BEHK, HIJK y EFGH, de la misma zona y tiene la forma de la figura en el lateral. Si BG = 20 m, entonces el área del patio es:

Pregunta CEFET- RJ 2016 Polígono

a) 20 mdos
b) 30 mdos
c) 40 mdos
d) 50 mdos

El segmento BG corresponde a la diagonal del rectángulo BFGK. Esta diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos, iguales a su hipotenusa.

Llamando al lado FG de x, tenemos que el lado BF será igual a 2x. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

paréntesis izquierdo raíz cuadrada de 20 paréntesis derecho al cuadrado igual ax al cuadrado más paréntesis izquierdo 2 x paréntesis derecho al cuadrado 20 es igual a 5 x al cuadrado x al cuadrado es igual a 20 sobre 5 x al cuadrado es igual a 4 x es igual a 2 espacio m

Este valor es la medida del lado de cada cuadrado que forma la figura. Así, el área de cada cuadrado será igual a:

A = ldos
A = 2dos = 4 mdos

Como hay 5 cuadrados, el área total de la figura será igual a:

LAT = 5. 4 = 20 mdos

Alternativa: a) 20 mdos

2) Faetec / RJ – 2015

Un polígono regular cuyo perímetro mide 30 cm tiene n lados, cada uno mide (n – 1) cm. Este polígono se clasifica como uno:

un triángulo
b) cuadrado
c) hexágono
d) heptágono
e) pentágono

Como el polígono es regular, sus lados son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Dado que el perímetro es la suma de todos los lados de un polígono, tenemos la siguiente expresión:

P = n. L

Dado que la medida en cada lado es igual a (n – 1), la expresión se convierte en:

30 = n. (n -1)
30 = ndos – n
nortedos – n -30 = 0

Vamos a calcular esta ecuación de segundo grado usando la fórmula de Bhaskara. Así tenemos:

incremento igual a 1 cuadrado menos 4. paréntesis izquierdo menos 30 paréntesis derecho 1 incremento igual a 1 más 120 incremento igual a 121 x igual al numerador menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho más o menos 121 raíz cuadrada sobre denominador 2.1 fin de fracción x con 1 subíndice igual al numerador 1 más 11 sobre el denominador 2 final de la fracción igual a 12 sobre 2 igual a 6 x con 2 subíndice igual al numerador 1 menos 11 sobre el denominador 2 final de la fracción igual al numerador menos 10 sobre el denominador 2 final del fracción igual a menos 5

La medida del lado debe ser un valor positivo, por lo que ignoraremos el -5, por lo tanto n = 6. El polígono que tiene 6 lados se llama hexágono.

Alternativa: c) hexágono

Para obtener más información, lea también Formas geométricas y fórmulas matemáticas.

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