¿Por qué los decimales periódicos son números racionales?

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son decimales periódicos racionales: DECIMAL deletreado usando bloques de madera

¿Son racionales los decimales periódicos? La respuesta es sí. Pero antes de hablar de por qué, repasemos los números racionales. Un número racional es una fracción en su término más bajo. Está escrito en forma a/b, donde ambos a y b son números enteros y b es un denominador distinto de cero.

Ahora, hablemos de por qué los decimales periódicos se consideran números racionales.

¿Son racionales los decimales periódicos?

Los decimales periódicos o periódicos son representaciones decimales de números con dígitos que se repiten infinitamente. Los números con un patrón repetitivo de decimales son racionales porque cuando los pones en forma fraccionaria, tanto el numerador a como el denominador b se convierten en números enteros no fraccionarios.

Por ejemplo, cuando usa la división larga para dividir 1 por 3el cociente resultante es 0.33333…. Sin embargo, cuando se expresa en forma fraccionaria, está formado por números enteros positivos que no tienen puntos decimales:

son decimales periódicos racionales: forma fraccionaria

En la expansión decimal infinita, los dígitos decimales se repiten para siempre sin fin. Los números con decimales periódicos pueden tener una línea encima del último número:

son decimales periódicos racionales: línea encima del número

La línea superior es una forma más fácil y corta de indicar una expansión decimal infinita sin tener que escribir un montón de números repetidos. Aunque los dígitos repetidos como este no parecen números racionales, pueden tomar la forma de expresiones racionales cuando se convierten a su forma de fracción:

Número racional en forma fraccionaria

Esto se debe a que la parte repetitiva de este decimal ya no aparece como un decimal en forma de número racional. En cambio, está representado por los números naturales 4 y 9 que no se repiten. Recuerda: los números irracionales no se pueden escribir como fracciones.

¿Qué es un decimal terminador?

Cuando se convierten a forma decimal, algunos números racionales tienen un decimal final. Esto significa que hay un número finito de dígitos después del punto decimal:

Números racionales con terminación decimal

El decimal final de este número racional es 5 ya que no le siguen números decimales.

¿Qué es un decimal no terminador?

Nunca puedes contar los lugares decimales de un número con decimales periódicos. Debido a esto, los decimales periódicos se denominan decimales no terminales.

He aquí un ejemplo de un decimal no terminador:

Ejemplo de decimal no terminador

En esta secuencia de dígitos, la misma combinación numérica de 09 se repetirá infinitamente.

Los decimales periódicos son racionales

Debido a que los números racionales se usan en todos los niveles de las matemáticas, es importante saber qué hace que un número sea racional. Puede parecer que los números con decimales periódicos no son números racionales. Pero cuando usas tus habilidades algebraicas para convertir decimales periódicos en la forma fraccionaria a/b, demuestras que los decimales periódicos son de hecho racionales.

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