En agosto de 1657, el matemático francés Pierre Fermat (1601-1665) escribió una carta (Epístola 42) a Monsieur Cureau de la Chambre, en el que enunció su célebre Principio de tiempo mínimo: La naturaleza siempre elige los caminos más pequeños.
De acuerdo con este principio, Fermat describe la ruta de propagación de la luz mediante el siguiente concepto:
“El camino que sigue la luz que viaja de un punto a otro es tal que el tiempo de viaje es mínimo. Es decir, la luz viaja por el camino más rápido «.
El hecho de que la trayectoria tenga una distancia menor no significa que sea necesariamente la trayectoria con el menor tiempo.
Por ejemplo, considere que hay dos formas de llegar a una ciudad, en el camino A tendría que conducir 30 km por un camino de tierra irregular con una velocidad máxima de 40 km / hy en el camino B tendría que conducir 50 km en una carretera asfaltada a una velocidad máxima de 100 km / h. La carretera A tiene la ruta más corta pero llegarás primero pasando la carretera B, lo mismo sucede con la luz: busca la trayectoria que presenta el mejor camino a seguir.
El tiempo para completar la ruta viene dado por la suma del tiempo recorrido en cada medio:
Dónde 
es el momento de pasar por cada medio.
Sabiendo que 
y que la velocidad del medio (
) es el índice medio (
) dividido por la velocidad de la luz (c) llegamos a la ecuación:
Usando un concepto de nivel superior podemos encontrar el tiempo usando la integral:
Dónde:
- ds: es un elemento infinitesimal de longitud.
- A – es el comienzo de la trayectoria de la luz
- B – es el final de la trayectoria de la luz
Leyes de reflexión y refracción de la luz.
Las leyes de reflexión y refracción de la luz se derivan del principio de Fermat.
ley de la reflexión
Utilizando el Principio de Fermat podemos confirmar la siguiente ley de reflexión.
«El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión».
deducción de la ley
Rayo de luz reflejada en un espejo
La trayectoria óptica de A a B viene dada por la distancia AP más la distancia PB. Podemos calcular esta distancia (P) usando el teorema de Pitágoras.
El principio de Fermat dice que la distancia debe ser mínima, para encontrar la distancia más pequeña, el valor más pequeño de x, derivamos la ecuación y la igualamos a cero.
Sabiendo que Sen Ѳ = pierna opuesta / hipotenusa.
Concluimos que Sen Ѳ = Sen Ѳ1
ley de refracción
Usando el principio de Fermat podemos confirmar la siguiente ley de refracción.
Cuando la luz atraviesa un medio cuyo índice de refracción n1, para otro medio cuyo índice de refracción es ndos, siempre hay N1 pecado Ѳ = n2 pecado Ѳ1
deducción de la ley
En la siguiente figura se ilustran 3 caminos diferentes para que la luz viaje del punto A al punto B (debemos recordar que hay infinitos caminos).
Posibles caminos para un rayo de luz refractada
Como la luz viaja a través de dos medios distintos, por ejemplo, el aire y el vidrio, intenta viajar la distancia más lejana en el medio donde su velocidad es mayor, de esta manera “ahorra” tiempo para llegar al punto B más rápido.
Refracción
El tiempo para recorrer la ruta AB es igual a la suma de AP y PB, sabiendo que el tiempo viene dado por la distancia dividida por la velocidad. Encontramos que el tiempo total es:
Considerando que v = c / ny el teorema de Pitágoras tenemos:
Derivado e igualado a cero para encontrar el valor mínimo de x encontramos:
Bibliografía:
Tipler Paul; Mosca, Gene. Physics for Scientists and Engineers vol 2, 6th ed, editor LTC, Río de Janeiro, 2009.
http://vsites.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QQ/aula-3/aula-3.htm consultado el 20/03/2011
http://efisica.if.usp.br/otica/universitario/raios/fermat/ consultado el 18/03/2011
