Principio de trabajo virtual y principio de D’Alembert

El argumento propuesto por d’alembert básicamente constituye un cambio imaginario en las coordenadas espaciales de las partículas de un sistema en el tiempo. Se proponen desplazamientos virtuales, de manera que se pueda describir el sistema a través de un nuevo instrumento matemático generado a partir del tratamiento de estos supuestos.

Consideremos un sistema en equilibrio: la fuerza neta que actúa sobre la partícula s es nula. De esta forma, podemos escribir:

F_s = 0 (s = 1,2 … N) (1.a)

Entonces, según el principio descrito anteriormente, podemos escribir:

F_s.δr_s = 0 (2.a)

Para las partículas N, tendremos:

Σ_sF_s.δr_s = 0 (3.a)

Tales argumentos son fácilmente aceptables desde el punto de vista de las condiciones de equilibrio. Pero si las fuerzas F_s son continuas desde la posición, por lo que la última expresión se puede reescribir como:

δW = 0 (4.a)

Que constituye básicamente el enunciado del principio de trabajo virtual:

«el trabajo realizado a lo largo de un desplazamiento virtual infinitesimal arbitrario de un sistema, desde una posición de equilibrio, es nulo». (LEECH, JW, pág.12.)

Si existe alguna restricción al libre movimiento del sistema, las fuerzas se pueden clasificar como fuerzas aplicadas. F_s^(Los) y como fuerzas de unión o fuerzas de unión F_s^(v) y de esta forma tendremos:

F_s = F_s^(v) + F_s^(Los) (5.a)

Aplicamos la suma a todas las partículas que componen el sistema:

Σ_sF_s^(v).δr_s + ΣF_s^(Los).δr_s = 0 (3.b)

Introducimos un postulado que nos permite reinterpretar la última ecuación:

F_s^(v).δr_s ≥ 0 (6.a)

El resultado de la combinación de (3.b) y (6.a) nos da:

ΣF_s^(Los).δr_s ≤ 0 (7.a)

En este caso, solo las fuerzas aplicadas están involucradas en la interpretación del sistema. Estas fuerzas son funciones supuestamente ininterrumpidas en el espacio. De esta manera, podemos escribir el elemento de trabajo δW como restringido a las posibilidades que ofrece el sistema. Entonces obtenemos:

δW ≡ ΣF_s^(Los).δr_s ≤ 0 (7.b)

Solo es necesario considerar los desplazamientos geométricamente reversibles δ ‘. Estas limitaciones nos dan:

ΣF_s^(Los).δ ‘r_s ≤ 0

En la dirección opuesta:

ΣF_s^(Los). (–Δ ‘r_s) ≤ 0

De esta forma, tendremos una ecuación que generaliza el principio del trabajo virtual, que toma la forma;

ΣF_s^(Los).δ ‘r_s = 0 (7.c)

Que se dice:

«El trabajo realizado durante un desplazamiento virtual infinitesimal reversible, compatible con las conexiones, de un sistema, desde una posición de equilibrio, es nulo». (LEECH, JW, pág.13.)

Podemos escribir ecuaciones que contengan el mismo número de grados de libertad y coordenadas. Estas son las coordenadas generalizadas q_I, y cada desplazamiento virtual δ ‘r_s realizado en una de estas direcciones se puede hacer de forma independiente. Por tanto, la ecuación (7.c) se reduce a:

ΣQ_I^(Los)‘q_I = 0 (7.d)

Hasta ahora, solo se han considerado sistemas en equilibrio estático. Pero podemos cubrir los sistemas en movimiento ingresando las ecuaciones de movimiento:

F_s = d (m_s.v_s) / dt (8.a)

Esto es,

F_s– d (m)_s.v_s) / dt = 0 (8.b)

Con base en lo escrito anteriormente, tenemos, para un desplazamiento virtual arbitrario:

Σ_s(F_s– d (m)_s.v_s) / dt) .δr_s = 0 (8.c)

Tendremos presencia de fuerzas vinculantes y fuerzas aplicadas. Entonces, reescribimos la ecuación anterior en términos de estas fuerzas:

Σ_sF_s^(C).δr_s + Σ_s(F_s^(Los)– d (m)_s.v_s) / dt) .δr_s = 0

Solo para los desplazamientos aceptables para las respectivas conexiones, podemos medir:

F_s^(C).δr_s ≥ 0

Y luego viene:

Σ_s(F_s^(Los)– d (m)_s.v_s) / dt) .δr_s ≤ 0

Restringiendo a los desplazamientos virtuales reversibles, tendremos:

Σ_s(F_s^(Los)– d (m)_s.v_s) / dt) .δ ‘r_s = 0

Para que cada desplazamiento virtual sea independiente entre sí, es necesario transformar las coordenadas del sistema en un sistema de coordenadas generalizado conveniente. Las fuerzas aplicadas F_s^(Los) son los encargados de realizar el trabajo, a lo largo del respectivo desplazamiento virtual. El término – d (m)_s.v_s) / dt está constituido por las fuerzas de inercia, que podemos representar de forma simplificada por I_s.

Brevemente, la última ecuación toma la forma:

Σ_s(F_s^(Los)+ I_s) .δ ‘r_s = 0

El resultado de la suma entre paréntesis nos da la fuerza efectiva. De esta forma llegamos a la expresión conocida como Principio de d’Alembert:

«el trabajo total realizado por las fuerzas efectivas es nulo en un desplazamiento infinitesimal reversible, compatible con los vínculos de cualquier sistema dinámico». (LEECH, JW, pág.15)

Referencias bibliográficas:
LEECH, JW, BSc. Doctor. Mecánica analítica. Traducción de OLIVEIRA, Carlos Campos de. Ed. Al libro técnico SA y Editora da Universidade de São Paulo. Río de Janeiro, 1971. 160p.