Progresión aritmética (PA):

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LA Progresión aritmética (PA) es una secuencia de números donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Esta diferencia constante se llama relación BP.

Por tanto, a partir del segundo elemento de la secuencia, los números que aparecen son el resultado de la suma de la constante con el valor del elemento anterior.

Esto es lo que la diferencia de la progresión geométrica (PG), porque en esta los números se multiplican por la razón, mientras que en la progresión aritmética se suman.

Las progresiones aritméticas pueden tener un número determinado de términos (PA finito) o un número infinito de términos (PA infinito).

Para indicar que una secuencia continúa indefinidamente, usamos puntos suspensivos, por ejemplo:

• la secuencia (4, 7, 10, 13, 16, …) es un PA infinito.
• la secuencia (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) es un PA finito.

Cada término en un PA se identifica por la posición que ocupa en la secuencia y para representar cada término usamos una letra (generalmente la letra La) seguido de un número que indica su posición en la secuencia.

Por ejemplo, el término La₄ en PA (2, 4, 6, 8, 10) es el número 8, porque es el número que ocupa la 4ª posición en la secuencia.

Clasificación de una AP

Según el valor de la relación, las progresiones aritméticas se clasifican en:

• Constante: cuando la relación es igual a cero. Por ejemplo: (4, 4, 4, 4, 4 …), donde r = 0.
• Creciente: cuando la relación es mayor que cero. Por ejemplo: (2, 4, 6, 8,10 …), donde r = 2.
• Descendiendo: cuando la relación es menor que cero (15, 10, 5, 0, – 5, …), donde r = – 5

Propiedades AP

1ra propiedad:

En un AP finito, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.

Ejemplo

2da propiedad:

Considerando tres términos consecutivos de un PA, el término medio será igual a la media aritmética de los otros dos términos.

Ejemplo

Tercera propiedad:

En un PA finito con un número impar de términos, el término central será igual a la media aritmética entre términos equidistantes. Esta propiedad se deriva de la primera.

Fórmula de término general

Dónde,

un: término que queremos calcular
a1: primer trimestre de BP
n: posición del término que queremos descubrir
r: razón

Explicación de la fórmula

Como la razón de un PA es constante, podemos calcular su valor a partir de cualquier término consecutivo, es decir:

Así, podemos encontrar el valor del segundo término del PA haciendo:

Para encontrar el tercer término usaremos el mismo cálculo:

Sustituyendo el valor de un_dos, que encontramos anteriormente, tenemos:

Si seguimos el mismo razonamiento, podemos encontrar:

Observando los resultados encontrados, notamos que cada término será igual a la suma del primer término con la razón multiplicada por la posición anterior.

Este cálculo se expresa mediante la fórmula del término general de PA, que nos permite conocer cualquier elemento de una progresión aritmética.

Ejemplo

Calcula el décimo término del BP: (26, 31, 36, 41, …)

Solución

Primero, debemos identificar que:

La₁ = 26
r = 31 – 26 = 5
n = 10 (décimo término).

Sustituyendo estos valores en la fórmula del término general, tenemos:

La_norte = a₁ + (n – 1). r
La₁₀ = 26 + (10-1). 5
La₁₀ = 26 + 9 .5
La₁₀ = 71

Por tanto, el décimo término de la progresión aritmética indicada es igual a 71.

Fórmula de término general de cualquier término k

A menudo, para definir cualquier término genérico, al que llamamos an, no tenemos el primer término a1, pero conocemos cualquier otro término, al que llamamos ak.

Podemos usar la fórmula del término general de cualquier término k:

Tenga en cuenta que la única diferencia fue el cambio del índice 1 en la primera fórmula, por k, en la segunda.

Ser,

an: el enésimo término del PA (un término en cualquier posición n)
ak: el k-ésimo término de un PA (un término en cualquier posición k)
r: la razón

Suma de los términos de un PA

Para encontrar la suma de los términos de un AP finito, simplemente use la fórmula:

Dónde,

s_norte: suma de los primeros n términos del BP
La₁: primer término de BP
La_norte: ocupa la enésima posición en la secuencia (un término en la posición n)
norte: puesto de término

Lea también sobre PA y PG.

Ejercicio resuelto

Ejercicio 1

PUC / RJ – 2018

Sabiendo que los números de secuencia (y, 7, z, 15) están en progresión aritmética, ¿cuánto vale la suma y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2

Ejercicio 2

NIIF – 2017

En la siguiente figura, tenemos una secuencia de rectángulos, todos de altura a. La base del primer rectángulo es by de los rectángulos subsiguientes es el valor de la base del anterior más una unidad de medida. Por tanto, la base del segundo rectángulo es b + 1 y el tercero b + 2, y así sucesivamente.

Considere las siguientes declaraciones.

I – La secuencia de las áreas del rectángulo es una progresión aritmética de razón 1.
II – La secuencia de las áreas del rectángulo es una progresión aritmética de la razón a.
III – La secuencia de las áreas del rectángulo es una progresión geométrica de la razón a.
IV – El área del enésimo rectángulo (A_norte) se puede obtener mediante la fórmula A_norte = a. (b + n – 1).

Marque la alternativa que contenga las declaraciones correctas.

allí.
b) II.
c) III.
d) II y IV.
e) III y IV.

Ejercicio 3

UERJ

Admitir la realización de un campeonato de fútbol en el que los avisos recibidos por los deportistas estén representados únicamente por tarjetas amarillas. Estas tarjetas se convierten en multas, de acuerdo con los siguientes criterios:

• Las dos primeras tarjetas recibidas no generan multas;
• La tercera tarjeta genera una multa de R $ 500,00.
• Las siguientes tarjetas generan multas cuyos valores siempre se incrementan en R $ 500,00 con relación a la multa anterior.

La tabla muestra las multas relacionadas con las cinco primeras tarjetas aplicadas a un atleta.

Considere un atleta que recibió 13 tarjetas amarillas durante el campeonato. El monto total, en reales, de las multas generadas por todas estas tarjetas equivale a:

a) 30.000
b) 33.000
c) 36.000
d) 39.000

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Progresión aritmética – Ejercicios

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