Written by (latín medieval comprendió, del latín clásico res, cosa)
Dicho en geometría analítica de un conjunto del cual todos los puntos tienen números reales como coordenadas.
MATEMÁTICAS
Las matemáticas y, en consecuencia, la física y sus aplicaciones no podrían actuar sobre el «mundo material» si no conocieran la noción de número real. Esto proviene de la geometría más elemental: la geometría de la línea. La teoría de los números reales, conocida en la época de Euclides con el nombre (que mantuvo durante mucho tiempo) de «medición de magnitudes», nació de la atribución de un número a cualquier punto de una línea marcada. Este número, llamado abscisa del punto considerado, es igual, al signo más cercano (+ o -), a la relación entre la distancia que separa el origen del punto elegido y la distancia tomada como unidad. Así, la distancia París-Marsella equivale a poco más de 797 kilómetros (siendo el kilómetro la unidad de distancia).
Los conceptos de número entero (0, 1, 2, 3, etc.) luego de número racional o fraccionario (1/3, 1/7, … por ejemplo), conceptos puramente algebraicos, permitieron medir casi todos las distancias habituales hasta ‘cuando se notó que el número ƒ(j) que mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado es 1 (la unidad), no podría encajar en este marco satisfactorio. De este sesgo geométrico nació el número irracional (es decir, real pero no racional) y, con él, una larga crisis filosófica que no acabó realmente hasta xixmi siglo, con la primera definición correcta de la noción de realidad (los “cortes” de Dedekind, en una famosa obra dedicada a los números en general: Was sind und was sollen die Zahlen, 1888).
Un juego no interminable
Una introducción rigurosa a una cuestión tan difícil es imposible en el contexto de una enciclopedia general. Estemos contentos con un enfoque intuitivo. Un nombre réel sera déterminé, pour nous, par la donnée d’un entier relatif (0, + 1, – 1, + 2, par exemple) et d’une suite infinie de chiffres, placés, de gauche à droite, après une » coma «. Esta secuencia de dígitos proporciona la parte denominada «no entera» o «mantisa» del número real. Dos secuencias distintas definen mantisas diferentes, excepto en casos análogos a este: 0.347999 (o 1.347999…) puede considerarse igual a 0.348000 (o 1.348). De hecho, cualquier secuencia, por ejemplo 347,999, que está, más allá de cierto rango, compuesta solo por 9 es igual a una secuencia formada solo por 0 del mismo rango. Por una razón análoga, excluiremos la secuencia 999 999… que, sumada a un número entero, como por ejemplo 23, daría lugar al 24 real y no a un número del que 23 sería la “parte entera”. Los datos de un número real son, en la práctica, del siguiente tipo:
217,
(parte entera)
302 489100 345…
(parte no integral = mantisa).
Se supone que la mantisa no tiene fin. Los números decimales, que se escriben en nuestro sistema de numeración habitual utilizando un número finito de lugares decimales después del punto decimal, encajan perfectamente en este marco; con el decimal 132/25 = 5.28 asociamos el real: 5.280 000… 000…
Del mismo modo, cualquier racional que dé lugar a una secuencia repetitiva de decimales (decimos: periódico), es inmediato para identificar los fundamentos con reales particulares. Por ejemplo, una división euclidiana supuestamente indefinida daría, como un cociente de 513 por 70, el número: 7,3 [2857 14] [2857 14] [2857 14] [2 857…].
El periodo [2857 14] permite definir una ley para el cálculo de un decimal de rango arbitrario (así podemos simplemente predecir que el milésimo decimal será un 5). En consecuencia, hay identidad entre el 513/70 racional y el 7 real, 32857 142857 14…, cuya ley de formación es perfectamente regular. Finalmente, hay reales irracionales (de lejos los más numerosos) como ƒ(j) = 1.414…, cuya ley de formación es mucho más compleja que para una racional.
π = 3.141 592 653 589 79… es otro ejemplo famoso.
Sin poder entrar en detalles, señalemos que no podríamos haber construido un análisis (es decir, usando derivadas, integrales, estudiando variaciones de funciones, resolviendo ecuaciones diferenciales, etc.) con los únicos números racionales también. paradójico y complicado a pesar de su aparente simplicidad: es el número real, así como el número complejo, lo que confiere al análisis el poder del que da testimonio toda la civilización industrial moderna.
