Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Las relaciones métricas se relacionan con las medidas de los elementos de un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo de 90 °).

Los elementos de un triángulo rectángulo se muestran a continuación:

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Elementos de un triángulo rectángulo

Ser:

a: medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º)
lado B
c: lado
h: altura relativa a la hipotenusa
m: proyección del lado c sobre la hipotenusa
n: proyección del catéter b sobre la hipotenusa

Relaciones de similitud y métricas

Para encontrar las relaciones métricas, usaremos similitud de triángulos. Considere los triángulos similares ABC, HBA y HAC, representados en las imágenes:

Similitud de triángulos

Similitud de triángulos

Dado que los triángulos ABC y HBA son similares (Incremento ABC Incremento HBA similar), tenemos las siguientes proporciones:

a sobre c es igual a b sobre h espacio flecha doble hacia la derecha a.  h es igual a b.  C

a sobre c es igual a c sobre m flecha doble hacia la derecha c al cuadrado es igual a a.  metro

Usando eso Incremento ABC incremento HAC similar encontramos la proporción:

a sobre b igual ab sobre n doble flecha derecha b al cuadrado igual a a.  norte

De la similitud entre los triángulos HBA y HAC encontramos la proporción:

h sobre n igual am sobre h doble flecha derecha h al cuadrado igual am.  norte

También tenemos que la suma de las proyecciones de los hombres es igual a la hipotenusa, es decir:

lo mismo soy más n

Teorema de pitágoras

La más importante de las relaciones métricas es el Teorema de Pitágoras. Podemos demostrar el teorema usando la suma de dos relaciones encontradas anteriormente.

Agreguemos la relación bdos = a. n con cdos = a. m, como se muestra a continuación:

b espacio al cuadrado más espacio c al cuadrado igual a a.  n espacio más a.  mb espacio al cuadrado más espacio c al cuadrado igual a.  espacio entre paréntesis izquierdo espacio n más paréntesis derecho

Como a = m + n, reemplazando la expresión anterior, tenemos:

a al cuadrado igual ab al cuadrado más c al cuadrado

Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras se puede establecer como:

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

EJEMPLOS

1) Encuentre el valor de xey en la siguiente figura:

Ejemplo de relaciones métricas

Primero, calcularemos el valor de la hipotenusa, que en la figura está representada por y.
Usando la relación: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12

Para encontrar el valor de x, usaremos la relación bdos = an, así:
Xdos = 12. 3 = 36
x igual a la raíz cuadrada de 36 espacio final de la raíz igual a 6

2) La medida de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 12 cm y una de las proyecciones mide 9 cm. Calcula la medida de los lados de este triángulo.

Primero encontraremos el valor de la otra proyección usando la relación: hdos = m. norte
12 al cuadrado igual a 9. n espacio doble flecha hacia la derecha 144 igual a 9. nn igual a 144 sobre 9 igual a 16

Encontremos el valor de la hipotenusa, usando la relación a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Ahora es posible calcular el valor de los catetos usando la bdos = a. Comité ejecutivo nacionaldos = a. metro
b al cuadrado igual a 25.16 igual a 400 b igual a la raíz cuadrada de 400 igual a 20

c al cuadrado igual a 25,9 igual a 225 c igual a la raíz cuadrada de 225 igual a 15

Fórmulas

En la siguiente tabla, reunimos las relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

Tabla de relaciones métricas

Para obtener más información, lea también:

Ejercicios resueltos

1) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y un lado mide 8 cm. En estas condiciones, determine:

a) la medida de la altura relativa a la hipotenusa
b) el área del triángulo

2) Determinar la medida de las proyecciones en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 cm y uno de los lados 5

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