Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

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Las relaciones métricas se relacionan con las medidas de los elementos de un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo de 90 °).

Los elementos de un triángulo rectángulo se muestran a continuación:

Ser:

a: medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º)
lado B
c: lado
h: altura relativa a la hipotenusa
m: proyección del lado c sobre la hipotenusa
n: proyección del catéter b sobre la hipotenusa

Relaciones de similitud y métricas

Para encontrar las relaciones métricas, usaremos similitud de triángulos. Considere los triángulos similares ABC, HBA y HAC, representados en las imágenes:

Dado que los triángulos ABC y HBA son similares (), tenemos las siguientes proporciones:

Usando eso encontramos la proporción:

De la similitud entre los triángulos HBA y HAC encontramos la proporción:

También tenemos que la suma de las proyecciones de los hombres es igual a la hipotenusa, es decir:

Teorema de pitágoras

La más importante de las relaciones métricas es el Teorema de Pitágoras. Podemos demostrar el teorema usando la suma de dos relaciones encontradas anteriormente.

Agreguemos la relación b^dos = a. n con c^dos = a. m, como se muestra a continuación:

Como a = m + n, reemplazando la expresión anterior, tenemos:

Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras se puede establecer como:

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

EJEMPLOS

1) Encuentre el valor de xey en la siguiente figura:

Primero, calcularemos el valor de la hipotenusa, que en la figura está representada por y.
Usando la relación: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12

Para encontrar el valor de x, usaremos la relación b^dos = an, así:
X^dos = 12. 3 = 36

2) La medida de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 12 cm y una de las proyecciones mide 9 cm. Calcula la medida de los lados de este triángulo.

Primero encontraremos el valor de la otra proyección usando la relación: h^dos = m. norte

Encontremos el valor de la hipotenusa, usando la relación a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Ahora es posible calcular el valor de los catetos usando la b^dos = a. Comité ejecutivo nacional^dos = a. metro

Fórmulas

En la siguiente tabla, reunimos las relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

Para obtener más información, lea también:

Ejercicios resueltos

1) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y un lado mide 8 cm. En estas condiciones, determine:

a) la medida de la altura relativa a la hipotenusa
b) el área del triángulo

2) Determinar la medida de las proyecciones en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 cm y uno de los lados 5