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Las relaciones trigonométricas son relaciones entre valores de las funciones trigonométricas del mismo arco. Estas relaciones también se denominan identidades trigonométricas.
Inicialmente, la trigonometría tenía como objetivo calcular las medidas de los lados y ángulos de los triángulos.
En este contexto, las razones trigonométricas sen θ, cos θ y tg θ se definen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.
Dado un triángulo rectángulo ABC con un ángulo agudo θ, como se muestra en la siguiente figura:
Definimos las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente en relación al ángulo θ, como:
Ser,
a: hipotenusa, es decir, lado opuesto al ángulo de 90º
b: lado opuesto al ángulo θ
c: cateto adyacente al ángulo θ
Para obtener más información, lea también la Ley del coseno y la Ley del Senado.
Relaciones fundamentales
La trigonometría a lo largo de los años se ha vuelto más completa, no restringida a los estudios de triángulos.
Dentro de este nuevo contexto, se define el círculo unitario, también llamado circunferencia trigonométrica. Se utiliza para estudiar funciones trigonométricas.
Circunferencia trigonométrica
El círculo trigonométrico es un círculo orientado con un radio igual a 1 unidad de longitud. Lo asociamos con un sistema de coordenadas cartesiano.
Los ejes cartesianos dividen la circunferencia en 4 partes, llamadas cuadrantes. La dirección positiva es en sentido antihorario, como se muestra en la siguiente figura:
Usando la circunferencia trigonométrica, las razones que se definieron inicialmente para ángulos agudos (menos de 90º), ahora se definen para arcos mayores de 90º.
Para ello asociamos un punto P, cuya abscisa es el coseno de θ y cuya ordenada es el seno de θ.
Dado que todos los puntos de la circunferencia trigonométrica están a una distancia de 1 unidad del origen, podemos usar el teorema de Pitágoras. Esto da como resultado la siguiente relación trigonométrica fundamental:
También podemos definir la tg x, de un arco de medida x, en el círculo trigonométrico como:
Otras relaciones clave:
- Medición de la cotangente del arco x
- Secante del arco de medida x.
- Cossecante de medida arco x.
Relaciones trigonométricas derivadas
Con base en las relaciones presentadas, podemos encontrar otras relaciones. A continuación, mostramos dos relaciones importantes derivadas de relaciones fundamentales.
