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Uno sistema de ecuaciones Consiste en un conjunto de ecuaciones que tienen más de una incógnita. Para resolver un sistema es necesario encontrar los valores que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.
Un sistema se denomina 1er grado, cuando el mayor exponente de las incógnitas, que integran las ecuaciones, es igual a 1 y no hay multiplicación entre estas incógnitas.
¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones de primer grado?
Podemos resolver un sistema de ecuaciones de 1er grado, con dos incógnitas, utilizando el método de sustitución o el método de suma.
Método de reemplazo
Este método consiste en elegir una de las ecuaciones y aislar una de las incógnitas, para determinar su valor en relación con otra incógnita. Luego, sustituimos ese valor en la otra ecuación.
De esta forma, la segunda ecuación tendrá una única incógnita y, así, podremos encontrar su valor final. Finalmente, sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación y, así, también encontramos el valor de la otra incógnita.
Ejemplo
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
Resolución
Comencemos eligiendo la primera ecuación del sistema, que es la ecuación más simple, para aislar la x. Entonces tenemos:
Después de reemplazar el valor de x, en la segunda ecuación, podemos resolverlo de la siguiente manera:
Ahora que hemos encontrado el valor de y, podemos sustituir ese valor de la primera ecuación para encontrar el valor de x:
Por tanto, la solución para el sistema dado es el par ordenado (8, 4). Tenga en cuenta que este resultado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, ya que 8 + 4 = 12 y 3.8 – 4 = 20.
Método de adición
En el método de la suma, buscamos unir las dos ecuaciones en una sola ecuación, eliminando una de las incógnitas.
Para ello, es necesario que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos, es decir, deben tener el mismo valor y signos opuestos.
Ejemplo
Para ejemplificar el método de suma, resolvamos el mismo sistema que antes:
Tenga en cuenta que en este sistema la y desconocida tiene coeficientes opuestos, es decir, 1 y -1. Luego, comenzaremos a calcular sumando las dos ecuaciones, como se indica a continuación:
Al cancelar la y, la ecuación se quedó con la x, por lo que ahora podemos resolver la ecuación:
Para encontrar el valor de y, simplemente sustituya ese valor en una de las dos ecuaciones. Reemplacemos el más simple:
Tenga en cuenta que el resultado es el mismo que ya habíamos encontrado, utilizando el método de sustitución.
Cuando las ecuaciones de un sistema no tienen incógnitas con coeficientes opuestos, podemos multiplicar todos los términos por un valor determinado, para poder utilizar este método.
Por ejemplo, en el sistema siguiente, los coeficientes de xey no son opuestos:
Por lo tanto, inicialmente no podemos cancelar ninguna de las incógnitas. En este caso, debemos multiplicar por algún número que convierta el coeficiente en un número opuesto al coeficiente de la otra ecuación.
Podemos, por ejemplo, multiplicar la primera ecuación por – 2. Sin embargo, debemos tener cuidado de multiplicar todas los términos por – 2, para no modificar la igualdad.
Así, el sistema equivalente a lo que queremos calcular es:
Ahora es posible resolver el sistema por adición, como se muestra a continuación:
Por lo tanto, x = – 12, no podemos olvidar sustituir este valor en una de las ecuaciones para encontrar el valor de y. Sustituyendo en la primera ecuación, tenemos:
Entonces, la solución para el sistema es el par ordenado (- 12, 60)
Clasificación de sistemas de ecuaciones
Un sistema de 1er grado, con dos incógnitas xey, formado por las ecuaciones a1x + b1y = c1 y eldosx + bdosy = cdos, tendrá la siguiente clasificación: posible y determinado, posible e indeterminado e imposible.
El sistema será posible y determinado al presentar una única solución. Esto sucederá cuando:
Cuando el sistema presente infinitas soluciones, se clasificará como posible e indeterminado. La condición para que un sistema sea de este tipo es:
Los sistemas imposibles, por otro lado, no tienen solución. En este tipo de sistema tenemos:
Ejemplo
Califique el sistema a continuación:
Para identificar el tipo de sistema, calculemos la relación entre los coeficientes de las ecuaciones:
Como
Entonces, el sistema es imposible.
Para obtener más información, lea también:
Ejercicios resueltos
1) Cefet – RJ – 2016
Una botella de PET (tereftalato de polietileno) con su tapón cuesta sesenta centavos. Sabiendo que la botella cuesta cincuenta centavos más que el tapón, ¿cuánto cuesta el tapón?
a) R $ 0,05
b) R $ 0,15
c) R $ 0,25
d) R $ 0,35
2) Cefet – RJ – 2014
Si leo 5 páginas al día de un libro, termino de leer 16 días antes que si estuviera leyendo 3 páginas al día. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
a) 120
b) 125
c) 130
d) 135
3) Uerj – 2015
Según los datos del cómic, el personaje gastó R $ 67,00 en la compra de x lotes de manzanas, y melones y cuatro docenas de plátanos, en un total de 89 unidades de fruta.
De este total, el número de unidades de manzanas compradas fue igual a:
a) 24
b) 30
c) 36
d) 42