Sistemas de ecuaciones: toda la materia

Uno sistema de ecuaciones Consiste en un conjunto de ecuaciones que tienen más de una incógnita. Para resolver un sistema es necesario encontrar los valores que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.

Un sistema se denomina 1er grado, cuando el mayor exponente de las incógnitas, que integran las ecuaciones, es igual a 1 y no hay multiplicación entre estas incógnitas.

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¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones de primer grado?

Podemos resolver un sistema de ecuaciones de 1er grado, con dos incógnitas, utilizando el método de sustitución o el método de suma.

Método de reemplazo

Este método consiste en elegir una de las ecuaciones y aislar una de las incógnitas, para determinar su valor en relación con otra incógnita. Luego, sustituimos ese valor en la otra ecuación.

De esta forma, la segunda ecuación tendrá una única incógnita y, así, podremos encontrar su valor final. Finalmente, sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación y, así, también encontramos el valor de la otra incógnita.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

abre claves tabla de atributos alineación de la columna espaciado de la columna izquierda 1.4 ex fin de los atributos fila con celda con x más y igual al final de la celda 12 fila con celda con 3 x menos y igual al final de la celda 20 fin de la tabla se cierra

Resolución

Comencemos eligiendo la primera ecuación del sistema, que es la ecuación más simple, para aislar la x. Entonces tenemos:

ejemplo de sistema de ecuaciones

Después de reemplazar el valor de x, en la segunda ecuación, podemos resolverlo de la siguiente manera:

3. espacio entre paréntesis izquierdo 12 menos y espacio entre paréntesis derecho menos y espacio es igual a 20 20 menos 3 y menos y es igual a 20 menos 4 y es igual a 20 menos 36 4 y es igual a 16 y es igual a 16 sobre 4 es igual a 4

Ahora que hemos encontrado el valor de y, podemos sustituir ese valor de la primera ecuación para encontrar el valor de x:

x más 4 es igual a 12 x es igual a 12 menos 4 x es igual a 8

Por tanto, la solución para el sistema dado es el par ordenado (8, 4). Tenga en cuenta que este resultado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, ya que 8 + 4 = 12 y 3.8 – 4 = 20.

Método de adición

En el método de la suma, buscamos unir las dos ecuaciones en una sola ecuación, eliminando una de las incógnitas.

Para ello, es necesario que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos, es decir, deben tener el mismo valor y signos opuestos.

Ejemplo

Para ejemplificar el método de suma, resolvamos el mismo sistema que antes:

abre claves tabla de atributos alineación de la columna espaciado de la columna izquierda 1.4 ex fin de los atributos fila con celda con x más y igual al final de la celda 12 fila con celda con 3 x menos y igual al final de la celda 20 fin de la tabla se cierra

Tenga en cuenta que en este sistema la y desconocida tiene coeficientes opuestos, es decir, 1 y -1. Luego, comenzaremos a calcular sumando las dos ecuaciones, como se indica a continuación:

sistema de ejemplo por adición

Al cancelar la y, la ecuación se quedó con la x, por lo que ahora podemos resolver la ecuación:

x igual a 32 sobre 4 igual a 8

Para encontrar el valor de y, simplemente sustituya ese valor en una de las dos ecuaciones. Reemplacemos el más simple:

8 más y igual a 12 flecha doble a la derecha y igual a 12 menos 8 flecha doble a la derecha y igual a 4

Tenga en cuenta que el resultado es el mismo que ya habíamos encontrado, utilizando el método de sustitución.

Cuando las ecuaciones de un sistema no tienen incógnitas con coeficientes opuestos, podemos multiplicar todos los términos por un valor determinado, para poder utilizar este método.

Por ejemplo, en el sistema siguiente, los coeficientes de xey no son opuestos:

abre teclas Atributos de la tabla Alineación de la columna Atributos del extremo izquierdo de la línea con celda con 3 x más y igual a 24 Fin de la línea de celda con celda con 5 x más 2 Y igual a 60 Fin de la celda Se cierra el final de la tabla

Por lo tanto, inicialmente no podemos cancelar ninguna de las incógnitas. En este caso, debemos multiplicar por algún número que convierta el coeficiente en un número opuesto al coeficiente de la otra ecuación.

Podemos, por ejemplo, multiplicar la primera ecuación por – 2. Sin embargo, debemos tener cuidado de multiplicar todas los términos por – 2, para no modificar la igualdad.

Así, el sistema equivalente a lo que queremos calcular es:

abre las claves alineación de la columna de los atributos de la tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda menos 6 x menos 2 y igual a menos 48 final de la celda celda con fila con 5 x más 2 y igual a 60 final de la celda final de la tabla se cierra

Ahora es posible resolver el sistema por adición, como se muestra a continuación:

ejemplo de método de adición

Por lo tanto, x = – 12, no podemos olvidar sustituir este valor en una de las ecuaciones para encontrar el valor de y. Sustituyendo en la primera ecuación, tenemos:

menos 6. paréntesis izquierdo menos 12 paréntesis derecho menos 2 y es igual a menos 48 más 72 menos 2 y es igual a menos 48 menos 2 y es igual a menos 48 menos 72 y 2 menos 120 y es igual a 120 sobre 2 es igual a 60

Entonces, la solución para el sistema es el par ordenado (- 12, 60)

Clasificación de sistemas de ecuaciones

Un sistema de 1er grado, con dos incógnitas xey, formado por las ecuaciones a1x + b1y = c1 y eldosx + bdosy = cdos, tendrá la siguiente clasificación: posible y determinado, posible e indeterminado e imposible.

El sistema será posible y determinado al presentar una única solución. Esto sucederá cuando:

a con 1 subíndice en a con 2 subíndices no es igual b con 1 subíndice en b con 2 subíndices

Cuando el sistema presente infinitas soluciones, se clasificará como posible e indeterminado. La condición para que un sistema sea de este tipo es:

a con 1 subíndice en a con 2 subíndices igual ab con 1 subíndice en b con 2 subíndices igual ac con 1 subíndice en c con 2 subíndices

Los sistemas imposibles, por otro lado, no tienen solución. En este tipo de sistema tenemos:

a con 1 subíndice en a con 2 subíndices igual ab con 1 subíndice en b con 2 subíndices no igual c con 1 subíndice en c con 2 subíndices

Ejemplo

Califique el sistema a continuación:

abre teclas alineación de la columna de atributos de la tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con 2 x más y igual a menos 4 fin de la celda celda con celda con 4 x más 2 y igual a 6 fin de la celda final de la tabla se cierra

Para identificar el tipo de sistema, calculemos la relación entre los coeficientes de las ecuaciones:

a con 1 subíndice sobre a con 2 subíndice igual a 2 sobre 4 b con 1 subíndice sobre b con 2 subíndice igual a 1 mitad c con 1 subíndice sobre c con 2 subíndice igual a numerador menos 4 sobre denominador 6 final de fracción igual a menos 2 de 3

Como

2 sobre 4 es igual a 1 mitad no es igual menos 2 sobre 3

Entonces, el sistema es imposible.

Para obtener más información, lea también:

Ejercicios resueltos

1) Cefet – RJ – 2016

Una botella de PET (tereftalato de polietileno) con su tapón cuesta sesenta centavos. Sabiendo que la botella cuesta cincuenta centavos más que el tapón, ¿cuánto cuesta el tapón?

a) R $ 0,05
b) R $ 0,15
c) R $ 0,25
d) R $ 0,35

Considerando x el valor de la botella y el valor del tapón, tenemos el siguiente sistema:

abre teclas alineación de columna de atributos de tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con x más y igual a 0 punto 60 final de fila de celda con celda con x igual a 0 punto 50 más espacio y final de celda final de tabla cierra espacio o espacio abre teclas tabla de atributos alineación de la columna extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con x más y igual a 0 punto 60 fin de la fila de celda con celda con x menos y igual a 0 punto 50 fin de celda final de la tabla se cierra

Resolviendo el sistema por suma, tenemos:

Error al convertir de MathML a texto accesible.

x = 0,55, que es el valor de la botella. Entonces, solo el límite cuesta 0.55-0.50 = 0.05

Alternativa a: R $ 0,05

2) Cefet – RJ – 2014

Si leo 5 páginas al día de un libro, termino de leer 16 días antes que si estuviera leyendo 3 páginas al día. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

a) 120
b) 125
c) 130
d) 135

Considerando x el número de días en la 1ª situación; y el número de días en la 2da situación, y que en ambas situaciones el número de páginas leídas es el mismo, podemos formar el siguiente sistema:

abre teclas alineación de la columna de atributos de tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con 5. x igual a 3. y final de fila de celda con celda con espacio x igual ay menos 16 fin de celda final de tabla se cierra

Resolviendo el sistema por sustitución, tenemos:

5 (y-16) = 3 años
5 años – 80 = 3 años
5 años – 3 años = 80
2 años = 80
y = 80/2 = 40

El número de páginas del libro vendrá dado por 3.y, por lo que el libro tiene 120 páginas.

Alternativa a: 120

3) Uerj – 2015

Pregunta 23 Uerj 2015

Según los datos del cómic, el personaje gastó R $ 67,00 en la compra de x lotes de manzanas, y melones y cuatro docenas de plátanos, en un total de 89 unidades de fruta.
De este total, el número de unidades de manzanas compradas fue igual a:

a) 24
b) 30
c) 36
d) 42

Teniendo en cuenta la información contenida en la imagen y los datos del problema, tenemos el siguiente sistema:

Atributos de la tabla de teclas abiertas alineación de la columna Atributos del extremo izquierdo de la línea con celda con 5. x espacio más 5. espacio y más 12 espacio igual al espacio 67 final de la línea de celda con celda con 6. x más y más 48 igual a 89 extremo se cierra la celda final de la tabla

Resolveremos el sistema por sustitución, aislando la y en la segunda ecuación. Así tenemos:

y = 41-6x

Sustituyendo en la segunda ecuación, encontramos:

5x + 5 (41 – 6x) = 67 – 12
5x + 205 – 30x = 55
30x – 5x = 205 – 55
25 veces = 150
x = 6

Pronto, se compraron 6 lotes de manzanas. Como cada lote tiene 6 unidades, se compraron 36 unidades de manzanas.

Alternativa c: 36

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