Blog

Teorema de Laplace: toda la materia

admin 30 Views abril 25, 2021 0
image_pdfVer en PDFimage_printImprimir

O Teorema de laplace es un método para calcular el determinante de matrices cuadradas de orden norte. Suele utilizarse cuando las matrices son de orden igual o superior a 4.

Este método fue desarrollado por el matemático y físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

¿Como calcular?

El teorema de Laplace se puede aplicar a cualquier matriz cuadrada. Sin embargo, para matrices de orden 2 y 3 es más fácil utilizar otros métodos.

Para calcular los determinantes debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Seleccionar una fila (fila o columna), dando preferencia a la fila que contenga el mayor número de elementos igual a cero, ya que simplifica los cálculos;
  2. Suma los productos de los números de la fila seleccionados por sus respectivos cofactores.

Cofator

El cofactor de una matriz de orden n ≥ 2 se define como:

LAij = (-1) yo + j. Dij

Dónde

LAij: cofactor de un elemento aij
i: línea donde se encuentra el elemento
j: columna donde se encuentra el elemento
Dij: es el determinante de la matriz resultante de la eliminación de la fila i y la columna j.

Ejemplo

Determine el cofactor del elemento a23, de la matriz A indicada

El espacio igual abre la fila de la tabla entre corchetes con 2 1 2 fila con celda con menos 3 al final de la celda 4 1 fila con 3 2 5 al final de la tabla cierra los corchetes

Solución

Para calcular el cofactor del elemento a23, comencemos calculando el determinante de la matriz resultante de la eliminación de la fila 2 y la columna 3.

barra vertical abierta con rayas horizontales en la fila de la tabla con 2 1 celda con línea vertical 2 extremo de la línea de celda con celda con 3 menos el extremo de la celda 4 celda con línea vertical 1 fin de la línea de celda con 3 2 celda con línea vertical 5 fin del extremo de celda del final de la tabla de racha cierra la barra vertical

Entonces, calculemos el determinante de esta matriz:

D con 23 subíndice igual a la fila de la mesa de barra vertical abierta con 2 1 fila con 3 2 al final de la mesa cerrada barra vertical igual a 4 menos 3 igual a 1

El cofactor se encontrará reemplazando el valor de D23 en la expresión, como se indica a continuación:

LA23 = (-1)2 + 3 . 1 = -1

El cofactor A23, de elemento a23 de la matriz dada, es igual a -1.

Ahora que sabemos cómo determinar el cofactor de un elemento en una matriz, podemos aplicar el teorema de Laplace para calcular su determinante.

Ejemplo

Encuentre el determinante de la matriz B, que se indica a continuación.

B es igual a la fila de la tabla con corchetes abiertos con 4 5 celdas con menos 3 al final de la celda 0 fila con 2 celdas con menos 1 al final de la celda 3 1 fila con 1 celda con menos 3 al final de la celda 2 1 fila con 0 2 celda con menos 2 al final de la celda 5 al final de la tabla se cierran los corchetes

Solución

Seleccionemos la línea 1, ya que hay un elemento igual a cero en ella.

Order Matrix 4 (selección)

El determinante se encontrará haciendo:

Cálculo del determinante

A partir de aquí, como cero multiplicado por cualquier número es cero, el cálculo es más sencillo, porque en este caso el14 . LA14 no es necesario calcularlo.

Así que calculemos cada cofactor:

A con 11 subíndices igual al paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a la potencia de 1 más 1 extremo de la exponencial.  fila de tabla de barra vertical abierta con celda con 1 extremo de celda 3 1 fila con celda con 3 extremo de celda 2 1 fila con 2 celda con menos 2 extremo de celda 5 fin de tabla cerrar barra vertical igual a 1,41 igual a 41

[elementor-template id="184764"]

A con 12 subíndices igual al paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a la potencia de 1 más 2 extremos del exponencial.  fila de tabla de barra vertical abierta con 2 3 1 fila con 1 2 1 fila con 0 celda con menos 2 final de celda 5 final de tabla cerrar barra vertical igual a menos 1,7 igual a menos 7

A con 13 subíndices igual al paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a la potencia de 1 más 3 extremos del exponencial.  fila de tabla de barra vertical abierta con 2 celdas menos de 1 extremo de celda 1 fila con 1 celda menos de 3 extremo de celda 1 fila con 0 2 5 final de tabla cerrar barra vertical igual a 1. paréntesis izquierdo menos 27 paréntesis derecho igual a menos 27

Tenga en cuenta que para determinar el cofactor, es necesario calcular el determinante de cada matriz de orden 3 indicada anteriormente. Para este tipo de matriz, el método más sencillo es aplicar la regla de Sarrus.

Sustituyendo los valores encontrados en la expresión del determinante, tenemos:

D = 4. 41 + 5. (-7) + (-3). (-27) = 164 – 35 + 81 = 210

Llegamos al resultado 210, que es el determinante de esta matriz 4×4 o matriz de cuarto orden.

Ejercicio resuelto

Usando el teorema de Laplace, calcule el determinante de la matriz de 5×5 que se indica a continuación.

Abra la fila de la tabla entre corchetes con 1 2 3 celda con menos 3 al final de la celda 1 fila con 0 4 0 0 0 fila con 0 1 0 1 1 fila con 0 celda con menos 6 al final de la celda 6 1 3 fila con 0 2 0 celda con menos 1 final de la celda 1 final de la tabla cierra los corchetes

Solución

En la primera columna de la matriz, casi todos los elementos son iguales a cero. Para hacerlo más fácil, elijamos esta columna.

Ejercicio 1 teorema de Laplace (matriz 5x5)

El determinante se encontrará haciendo:

D = 1. LA11 + 0. LA21 + 0. LA31 + 0. LA41 + 0. LA51

El único cofactor que tendremos que calcular es A11, ya que los demás se multiplicarán por cero. El valor de A11 se encontrará haciendo:

A con 11 subíndices igual al paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a la potencia de 1 más 1 extremo de la exponencial.  barra vertical abierta línea de tabla con 4 0 0 0 línea con 1 0 1 1 línea con celda con menos 6 extremo de celda 6 1 3 línea con 2 0 celda con menos 1 extremo de celda 1 extremo de tabla cerrar barra vertical

Como vamos a calcular el determinante de una matriz de 4 órdenes, usaremos el teorema de Laplace nuevamente. Para este cálculo, elegimos la primera línea, ya que solo tiene un valor distinto de cero.

Ejercicio 2 teorema de Laplace (matriz 4x4)

D´ = 4. LA11 + 0. A ‘12 + 0. LA’13 + 0. LA’14

Para calcular el determinante D ‘, solo necesitamos encontrar el valor de A’11, porque los otros cofactores se multiplican por cero.

El apóstrofo con 11 subíndices igual al paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho elevado a la potencia de 1 más 1 extremo de la exponencial.  fila de tabla de barra vertical abierta con 0 1 1 fila con 6 1 3 fila con 0 celda con menos 1 extremo de celda 1 extremo de tabla cerrar barra vertical igual a menos 12

De esta forma D ‘será igual a:

D ‘= 4. (-12) = – 48

Luego podemos calcular el determinante buscado, sustituyendo este valor en la expresión de A11:

LA11 = 1. (-48) = – 48

Así, el determinante vendrá dado por:

D = 1. A11 = – 48

Por tanto, el determinante de la matriz de orden 5, es igual a – 48.

Para obtener más información, consulte también:

image_pdfVer en PDFimage_printImprimir
Share

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.