Teoría de conjuntos

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Teoría que, en su parte elemental, trata de las nociones de conjunto, elemento, subconjunto, álgebra de conjuntos y relaciones y aplicaciones definidas sobre conjuntos, y que, en su parte axiomática, pretende formalizar y axiomatizar la noción intuitiva del todo en para eliminar las paradojas que resultan de ella. (La teoría de conjuntos es la base de todo el edificio matemático, y su vocabulario constituye el lenguaje de las llamadas matemáticas modernas).

MATEMÁTICAS

Ideas basicas

Georg cantor

Georg cantor

álgebra de Boole
álgebra de Boole
Al final del xixmi s., era necesario unificar el lenguaje de las matemáticas. G. Cantor notó que de lo que hablan, en general, son colecciones, conjuntos: conjuntos de puntos (figuras), conjuntos de números (funciones), etc. Y esto sin tener en cuenta la naturaleza de los objetos considerados; sólo importan las relaciones entre estas colecciones. Por tanto, hay un solo tipo de objeto, conjuntos, y una sola relación básica, perteneciente o no a un conjunto. Se anotará la relación ∈ y escribiremos “ Xy «. También diremos: » X es parte de y «. (Se nota lo contrario Xy, X no pertenece al y.)

Por tanto, no es necesario definir un «conjunto» – cada objeto es un conjunto – sino indicar cómo se puede delimitar y describir. Son posibles dos formas: una enumeración de sus elementos (por ejemplo, el alfabeto: a, b, c, d…); una propiedad que permite saber si un elemento pertenece o no al conjunto (por ejemplo, enteros divisibles por 3).

Pero la construcción del lenguaje de conjuntos, a partir de operaciones intuitivas y sencillas, planteó problemas inesperados y delicados.

Las estructuras de los decorados

Si, en un conjunto, queremos distinguir dos elementos por el hecho de que no son idénticos, debemos «estructurar» este conjunto. La estructura es una forma de considerar un todo que permite realizar determinadas operaciones. Si se desea, por ejemplo, expresar: que » tu es el doble de v », Definimos un estructura algebraica ; que «A y B están a ambos lados del borde», definimos un estructura topológica ; que «X e Y son equidistantes de Z», definimos un estructura métrica. Y si queremos expresar que «P es antes de Q», definimos un estructura de la orden. Esta última estructura permite atravesar el conjunto no de forma geométrica o topológica, sino pasando de un elemento a otro que es «posterior».

Relaciones de orden

A relación de orden debe: 1. promover la información: si en es despues B y que B es despues vs, entonces en será después vs. Así, con dos piezas de información, hacemos una tercera, que amplía la relación; esta aquí transitividad ; 2. prohibir los «círculos viciosos»: si en es despues B y que B es despues en, entonces en = B ; su’antisimetría.

Para las matemáticas, que, entre otras, trabaja con colecciones infinitas de la misma forma que con conjuntos finitos -que era uno de los objetivos de Cantor-, estas nociones se consolidarán y enriquecerán para aplicarlas al -más allá de lo finito y la numeración utilizando enteros. Más aún, las estructuras de orden demostrarán ser la herramienta privilegiada que permitirá definir infinitos de infinitos.

¿Es la teoría matemática capaz de elementos de grupo.?

De este modo, elementos (que puede ser cualquier cosa: números, personas, frutas) se indican con letras minúsculas y se definen como uno de los componentes del conjunto.

Ejemplo: el elemento «a» o la persona «x»

Así, mientras que los elementos del conjunto están indicados por la letra minúscula, la conjuntos, están representados por letras mayúsculas y generalmente entre llaves ({}).

Además, los elementos están separados por coma o punto y coma, por ejemplo:

LA = {a, e, i, o, u}

Diagrama de Euler-Venn

En el modelo del diagrama de Euler-Venn (diagrama de Venn), los conjuntos se representan gráficamente:

Teoría de conjuntos

Relación de relevancia

La relación de pertinencia es un concepto muy importante en la «teoría de conjuntos».

Indica si el elemento pertenecer (y) o No pertenece (ɇ) a un conjunto dado, por ejemplo:

D = {w, x, y, z}

Pronto,

casarse (w pertenece al conjunto D)
j ɇ D (j no pertenece al conjunto D)

Relación de inclusión

La relación de inclusión señala si tal conjunto es contenido (C), no está contenido (Ȼ) o si un juego contiene el otro (Ɔ), por ejemplo:

LA = {a, e, i, o, u}
B = {a, e, i, o, u, m, n, o}
C = {p, q, r, s, t}

Pronto,

ACB (A está contenido en B, es decir, todos los elementos de A están en B)
C Ȼ B (C no está contenido en B, ya que los elementos del conjunto son diferentes)
B Ɔ A (B contiene A, donde los elementos de A están en B)

Conjunto vacio

El conjunto vacío es el conjunto en el que no hay elementos; está representado por dos claves {} o por el símbolo O. Tenga en cuenta que el conjunto vacío está contenido (C) en todos los conjuntos.

Unión, intersección y diferencia entre conjuntos

LA unión de conjuntos, representado por la letra (U), corresponde a la unión de los elementos de dos conjuntos, por ejemplo:

LA = {a, e, i, o, u}
B = {1,2,3,4}

Pronto,

AB = {a, e, i, o, u, 1,2,3,4}

Unión de conjuntos

LA intersección de conjuntos, representado por el símbolo (), corresponde a los elementos comunes de dos conjuntos, por ejemplo:

C = {a, b, c, d, e} D = {b, c, d}

Pronto,

CD = {b, c, d}

Intersección de conjuntos

LA diferencia entre conjuntos corresponde al conjunto de elementos que están en el primer conjunto, y no aparecen en el segundo, por ejemplo:

LA = {a, b, c, d, e} B= {b, c, d}

Pronto,

AB = {a, e}

Diferencia entre conjuntos

Igualdad de conjuntos

En la igualdad de los conjuntos, el elementos dos conjuntos son idéntico, por ejemplo en los conjuntos A y B:

LA = {1,2,3,4,5}
B = {3,5,4,1,2}

Pronto,

A = B (A es igual a B).

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos están formados por:

  • Números naturales: norte = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …}
  • Números enteros: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}
  • Numeros racionales: Q = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,5,6 …}
  • Numeros irracionales: I = {…, √2, √3, √7, 3, 141592…}
  • Numeros reales (R): N (números naturales) + Z (números enteros) + Q (números racionales) + I (números irracionales)
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