Vértice de la parábola: toda la materia

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El vértice de la parábola corresponde al punto en el que la gráfica de una función de segundo grado cambia de dirección. La función del segundo grado, también llamada cuadrática, es la función del tipo f (x) = ax^dos + bx + c.

Usando un plano cartesiano, podemos graficar una función cuadrática considerando los puntos de coordenadas (x, y) que pertenecen a la función.

En la imagen de abajo, tenemos la gráfica de la función f (x) = x^dos – 2x – 1 y el punto que representa su vértice.

Coordenadas de vértice

Las coordenadas del vértice de una función cuadrática, dadas por f (x) = ax^dos + bx + c, se puede encontrar usando las siguientes fórmulas:

Donde Δ = b^dos – 4.ac

Ejemplo

Encuentra las coordenadas del vértice de la función f (x) = – x^dos + 4x – 2.

Solución

Para encontrar las coordenadas del vértice, aplicaremos las fórmulas anteriores. Para ello, calcularemos el valor de Δ, considerando a = – 1, b = 4 yc = – 2. Así tenemos:

Δ = 4^dos – 4. (- 1). (- 2) = 16 – 8 = 8

Sustituyendo los valores, encontramos:

Por lo tanto, el punto del vértice tiene coordenadas V (2, 2), como se muestra en la siguiente imagen:

Valor máximo y mínimo

Según el signo del coeficiente La de la función de segundo grado, la parábola puede presentar su concavidad hacia arriba o hacia abajo.

Cuando el coeficiente La es negativa, la parábola de la parábola bajará. En este caso, el vértice será el valor máximo alcanzado por la función.

Para funciones de coeficiente La positivo, la concavidad estará hacia arriba y el vértice representará el valor mínimo de la función.

Imagen de función

Como el vértice representa el punto máximo o mínimo de la función de 2º grado, se utiliza para definir el conjunto de imágenes de esta función, es decir, los valores de y que pertenecen a la función.

Por tanto, hay dos posibilidades para el conjunto de imágenes de la función cuadrática:

• Para> 0, el conjunto de imágenes será:
• Para <0, el conjunto de imágenes será:

Por ejemplo, para definir la imagen de la función f (x) = x^dos + 2 x – 3, debemos encontrar el valor de y del vértice de la función. Aplicando la fórmula, encontramos que el valor de y_v es – 4.

Como el coeficiente La de la función es positiva (a> 0), la parábola es cóncava hacia arriba, por lo que este punto será el valor mínimo de la función, como se muestra en la siguiente imagen:

Por lo tanto, todos los valores asumidos por la función serán mayores que – 4. Por lo tanto, f (x) = x^dos + 2x – 3 tendrá un conjunto de imágenes dado por:

Problemas resueltos

1) Enem – 2015

Un estudiante está investigando el desarrollo de cierto tipo de bacteria. Para esta investigación, usa un invernadero para almacenar las bacterias. La temperatura dentro de este invernadero, en grados Celsius, viene dada por la expresión T (h) = – h^dos + 22 h – 85, donde h representa las horas del día. Se sabe que la cantidad de bacterias es la mayor posible cuando el invernadero alcanza su temperatura máxima y, en ese momento, debe sacarlas del invernadero. La tabla asocia rangos de temperatura, en grados Celsius, con las clasificaciones: muy baja, baja, media, alta y muy alta.

Cuando el alumno obtiene la mayor cantidad de bacterias posible, la temperatura dentro del invernadero se clasifica como

a) muy bajo.
soplar.
c) promedio.
d) alto.
e) muy alto.

2) UERJ – 2016

Tenga en cuenta la función f, definida por: f (x) = x^dos – 2kx + 29, para x ∈ IR. Si f (x) ≥ 4, para cada número real x, el valor mínimo de la función f es 4.

Por tanto, el valor positivo del parámetro k es:

a) 5
b) 6
c) 10
d) 15

Para obtener más información, consulte también: