Polinomios: definición, operaciones y factorización

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Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por números (coeficientes) y letras (partes literales). Las letras de un polinomio representan los valores desconocidos de la expresión.

EJEMPLOS

a) 3ab + 5
b) x³ + 4xy – 2x^dosy³
c) 25 veces^dos – 9 años^dos

Monomial, Binomial y Trinomial

Los polinomios están formados por términos. La única operación entre los elementos de un término es la multiplicación.

Cuando un polinomio tiene solo un término, se llama monomio.

EJEMPLOS

a) 3 veces
b) 5abc
c) x^dosy³z⁴

La llamada binomios son polinomios que tienen solo dos monomios (dos términos), separados por una operación de suma o resta.

EJEMPLOS

a) el^dos – B^dos
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd^dos

La trinomios son polinomios que tienen tres monomios (tres términos), separados por operaciones de suma o resta.

Ejemplos

a) x^dos + 3x + 7
b) 3ab – 4xy – 10 años
cm³n + m^dos + n⁴

Grado de polinomios

El grado de un polinomio viene dado por los exponentes de la parte literal.

Para encontrar el grado de un polinomio, debemos sumar los exponentes de las letras que componen cada término. La mayor suma será el grado del polinomio.

EJEMPLOS

a) 2x³ + y

El exponente del primer término es 3 y el segundo término es 1. Dado que el mayor es 3, el grado del polinomio es 3.

b) 4 x^dosy + 8x³y³ – xy⁴

Agreguemos los exponentes de cada término:

4x^dosy => 2 + 1 = 3
8x³y³ => 3 + 3 = 6
xy⁴ => 1 + 4 = 5

Dado que la suma más grande es 6, el grado del polinomio es 6

Nota: el polinomio nulo es aquel que tiene todos los coeficientes iguales a cero. Cuando esto ocurre, el grado del polinomio no está definido.

Operaciones con polinomios

Consulte los siguientes ejemplos de operaciones entre polinomios:

Agregar polinomios

Hacemos esto sumando los coeficientes de términos similares (la misma parte literal).

(- 7x³ + 5 x^dosy – xy + 4y) + (- 2x^dosy + 8xy – 7y)
– 7x³ + 5 veces^dosy – 2x^dosy – xy + 8xy + 4y – 7y
– 7x³ + 3 veces^dosaños + 7xy – 3 años

Restar polinomios

El signo menos delante del paréntesis invierte los signos dentro del paréntesis. Después de eliminar los paréntesis, debemos agregar términos similares.

(4 veces^dos – 5xk + 6k) – (3x – 8k)
4x^dos – 5xk + 6k – 3xk + 8k
4x^dos – 8xk + 14k

Multiplicar polinomios

En la multiplicación, debemos multiplicar término por término. En la multiplicación de letras iguales, los exponentes se repiten y se suman.

(3 veces^dos – 5x + 8). (-2x + 1)
-6x³ + 3 veces^dos + 10 veces^dos – 5x – 16x + 8
-6x³ + 13x^dos – 21x +8

División de polinomios

Nota: En la división de polinomios usamos el método clave. Primero, dividimos los coeficientes numéricos y luego dividimos las potencias de la misma base. Para hacer esto, mantén la base y resta los exponentes.

Factorización de polinomios

Para realizar la factorización de polinomios tenemos los siguientes casos:

Factor común en la evidencia

ax + bx = x (a + b)

Ejemplo

4x + 20 = 4 (x + 5)

Agrupamiento

ax + bx + ay + por = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)

Ejemplo

8ax + bx + 8ay + por = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)

Trinomio cuadrado perfecto (suma)

La^dos + 2ab + b^dos = (a + b)^dos

Ejemplo

X^dos + 6x + 9 = (x + 3)^dos

Trinomio cuadrado perfecto (diferencia)

La^dos – 2ab + b^dos = (a – b)^dos

Ejemplo

X^dos – 2x + 1 = (x – 1)^dos

Diferencia de dos cuadrados

(a + b). (a – b) = a^dos – B^dos

Ejemplo

X^dos – 25 = (x + 5). (x – 5)

Cubo perfecto (adición)

La³ + 3a^dosb + 3ab^dos + b³ = (a + b)³

Ejemplo

X³ + 6x^dos + 12x + 8 = x³ + 3. X^dos . 2 + 3. X. dos^dos + 2³ = (x + 2)³

Cubo perfecto (diferencia)

La³ – 3º^dosb + 3ab^dos – B³ = (a – b)³

Ejemplo

y³ – 9 años^dos + 27 años – 27 = años³ – 3. y^dos . 3 + 3. y. 3^dos – 3³ = (y – 3)³

Lea también:

Ejercicios resueltos

1) Clasifique los siguientes polinomios en monomios, binomios y trinomios:

a) 3abcd^dos
b) 3a + bc – d^dos
c) 3ab – cd^dos

2) Indique el grado de los polinomios:

a) xy³ + 8xy + x^dosy
b) 2x⁴ + 3
c) ab + 2b + a
d) zk⁷ – 10z^dosk³w⁶ + 2x

3) ¿Cuál es el valor del perímetro de la siguiente figura?

4) Encuentra el área de la figura:

5) Factoriza los polinomios

a) 8ab + 2a^dosb – 4ab^dos
b) 25 + 10 años + años^dos
c) 9 – k^dos

Ver también: Expresiones algebraicas y ejercicios sobre expresiones algebraicas