isometría –

Aplicación definida entre dos espacios afines euclidianos, de manera que la distancia entre los puntos de la imagen sea la misma que entre los antecedentes correspondientes. (También podemos definir la isometría afín en el mismo espacio afín como un mapa afín cuyo endomorfismo [ou isométrie vectorielle] asociado es ortogonal. Si este último es positivo, especificamos isometría positiva [ou isométrie directe ou déplacement] ; de lo contrario, estamos hablando deisometría negativa [ou isométrie non directe].)

MATEMÁTICAS

De isometrías afines son las traslaciones, cuyo endomorfismo asociado es la identidad del espacio vectorial asociado, y las rotaciones, cuyo endomorfismo asociado es una rotación vectorial. El conjunto de isometrías de un espacio afín E constituye, para la ley de composición de mapas, un grupo, denotado por Es (E), del cual el grupo de desplazamientos o isometrías positivas, es uno de los subgrupos, denotado por Es⁺(MI). En la línea afín, las isometrías positivas son las traslaciones y las isometrías negativas las simetrías con respecto a un punto. En el plano afín, las isometrías positivas son traslaciones y rotaciones; Las isometrías negativas son simetrías ortogonales y los compuestos de estas simetrías con traslaciones. En un espacio afín mi₃, las isometrías positivas son los atornillamientos y las rotaciones; Las isometrías negativas son los compuestos de una simetría plana y una traslación, los compuestos de una simetría plana y una rotación de eje perpendicular al plano, las simetrías centrales.

Toda la isometrías vectoriales de un espacio vectorial euclidiano
finito tiene una estructura de grupo; para la composición de aplicaciones, es el grupo ortogonal de
Nota
, subgrupo de grupo lineal
. Una isometría vectorial es un mapa lineal biyectivo que deja invariante el producto escalar de dos vectores, lo que transforma cualquier base ortonormal de
en una familia ortonormal, y que mantiene la norma de cualquier vector de mi_no.

En un espacio vectorial bidimensional, una isometría es una rotación vectorial o una simetría ortogonal a una línea vectorial. En un espacio vectorial tridimensional, una isometría es una simetría con respecto a un plano, o una rotación vectorial que tiene como eje una línea vectorial, o el compuesto de 3 simetrías ortogonales planas que se pueden reducir al compuesto de una rotación vectorial. y una simetría de vector plano ortogonal, siendo el eje de rotación y el plano de simetría ortogonal.

En cualquier base ortonormal, el determinante de una isometría vectorial es igual a 1 (isometría positiva) o a -1 (isometría negativa).