Área de un triángulo: geometría

¿Qué es un triángulo?

El triángulo es una de las figuras geométricas más simples que existen. A pesar de ello, fue objeto de numerosos estudios durante el desarrollo de las Matemáticas en todo el mundo. El estudio más conocido, quizás, es el Teorema de Pitágoras.

Calcular el área de un triángulo

El área es el espacio interno de cualquier figura geométrica plana. El área de un triángulo se puede calcular de diferentes maneras, utilizando diferentes conceptos y métodos. Existe una fórmula (modelo matemático) que nos da el área de cualquier triángulo, conociendo solo la base y la altura de este triángulo. Esta fórmula es la siguiente:

Donde B es la medida de la base del triángulo y H Tu altura.

Como todo lo demás en matemáticas, nada cae del cielo. Hay una demostración simple que muestra cómo obtenemos esta fórmula.

Imagina cualquier rectángulo de base by altura h:

Encontramos el área de este rectángulo multiplicando la base por la altura, es decir,

Ahora dibujemos una diagonal. Mira que tendremos dos triángulos:

Como dibujamos una diagonal, dividimos el rectángulo en dos mitades iguales. Con esto creamos dos triángulos idénticos, es decir, con la misma área. El área de cada triángulo será la mitad del área del rectángulo, es decir, si el área del rectángulo es , el área de cada triángulo será esta área dividida por dos, es decir, .

altura de un triangulo

La altura de un triángulo es el segmento que conecta un punto con su segmento opuesto (base opuesta), formando un ángulo de 90 ° con él. Decimos que la altura de un triángulo siempre es perpendicular a su base.

Debemos tener cuidado de encontrar la altura de un triángulo. Dependiendo de su tipo, esta altura a menudo no es fácilmente visible.

Si el triángulo tiene un ángulo agudo, donde todos los ángulos internos son agudos (menos de 90 °), tenemos una altura «dentro» del triángulo, sin importar si es escaleno, isósceles o equilátero.

Si el triángulo tiene un ángulo obtuso, donde uno de sus ángulos internos es obtuso (mayor a 90 °), tendremos una altura “exterior” del triángulo, dependiendo de qué lado elijamos como base. Consideremos el triángulo ABC:

Cómo elegimos el segmento como base antes de Cristo, tuvimos que extender este segmento hacia la izquierda y trazar la altura desde el punto A, perpendicular a esta extensión del segmento antes de Cristo.

Si por casualidad elegimos ANTES DE CRISTO como base, la altura estará «dentro» del triángulo ABC, ver:

Por tanto, es de destacar que la base de un triángulo no es solo la que está “apoyada en el suelo”. Podemos elegir cualquier lado como base.

Si el triángulo es rectangular (uno de sus ángulos mide 90 °), la altura será igual a uno de sus catetos, siempre que la base sea el otro cateto.

Triángulo equilátero

En un triángulo equilátero (un triángulo donde todos sus lados tienen la misma medida), se puede facilitar el cálculo del área, necesitando, para ello, solo el valor de medida del lado de este triángulo. Deduzcamos una fórmula para esto, considerando el triángulo equilátero ABC, a continuación, de medida a.

Centrémonos en uno de los triángulos rectángulos que se formaron: ABD y ACD.

En ABD, apliquemos el Teorema de Pitágoras.

Ahora, como el área de cualquier triángulo es: , tendremos:

Por lo tanto, en cada triángulo equilátero en el que se conoce la medida de su lado, para encontrar su área, simplemente use la fórmula .

Ejemplo: ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero que mide 8 cm de lado?

Respuesta:

Otros métodos para calcular áreas de triángulos

También existen otras técnicas para calcular el área de un triángulo. Uno de ellos es calcular el área de un triángulo, conociendo uno de sus ángulos y las medidas de los lados que componen ese ángulo. La fórmula es la siguiente:

Donde tenemos las medidas de dos lados, ayb, y el ángulo formado por estos lados.

Ejemplo: calcula el área del siguiente triángulo:

Usando la fórmula tendremos:

Puedes encontrar el área de un triángulo con solo medir sus tres lados. Para esto existe la fórmula de Heron (o Heron). La fórmula es la siguiente:

Donde a, byc son los tres lados del triángulo y p se llama semiperímetro (la mitad del perímetro del triángulo).

Ejemplo: Calcula el área de un triángulo con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm.

Referencias:
DANTE, Luiz Roberto. Matemáticas: contexto y aplicaciones. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elemental. Geometria plana. Vol. 9. São Paulo: Actual, 1995.