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Un diagrama de Venn es una forma gráfica que representa los elementos de un conjunto. Para hacer esta representación usamos formas geométricas.
Para indicar el conjunto de universos, normalmente usamos un rectángulo y para representar subconjuntos del conjunto de universos usamos círculos. Dentro de los círculos se incluyen los elementos del conjunto.
Cuando dos conjuntos tienen elementos en común, los círculos se dibujan con un área de intersección.
El diagrama de Venn lleva el nombre del matemático británico John Venn (1834-1923) y fue diseñado para representar operaciones entre conjuntos.
Además de aplicarse en conjuntos, el diagrama de Venn se utiliza en las más diversas áreas del conocimiento como lógica, estadística, informática, ciencias sociales, entre otras.
Relación de inclusión entre conjuntos
Cuando todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B, decimos que el conjunto A es un subconjunto de B, es decir, el conjunto A es parte del conjunto B.
Indicamos este tipo de relación por 
y leemos «A está contenido en B». Todavía podemos usar 
que representa «B contiene A».
Para representar la relación de inclusión a través del diagrama de Venn, colocamos un círculo dentro de otro círculo para indicar que un conjunto es un subconjunto del otro.
Ejemplo
El conjunto B de los meses del año que comienzan con la letra J es un subconjunto del conjunto A de los meses del año. Por lo tanto, podemos representar estos conjuntos a través del diagrama de Venn, como se muestra en la siguiente imagen:
Operaciones entre conjuntos
Diferencia
La diferencia entre dos conjuntos corresponde a la operación de escribir un conjunto, eliminando elementos que también forman parte de otro conjunto.
Esta operación está indicada por A – B y el resultado serán los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B.
Para representar esta operación utilizando el diagrama de Venn, dibujamos dos círculos y pintamos uno de ellos excluyendo la parte común de los conjuntos, como se indica a continuación:
Unidad
La operación de unión representa la unión de todos los elementos que pertenecen a dos o más conjuntos. Para indicar esta operación usamos el símbolo 
.
En el diagrama de Venn esta operación se indica pintando todo el interior de los círculos que representan los conjuntos, según la siguiente imagen:
La intersección entre conjuntos significa los elementos comunes, es decir, todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos al mismo tiempo.
Así, dados dos conjuntos A y B, la intersección entre ellos será denotada por 
e indicado en el diagrama de Venn por la pintura de la parte común, como se indica a continuación:
Número de elementos en un conjunto
El diagrama de Veen es una gran herramienta para usar en problemas relacionados con el ensamblaje de conjuntos.
Mediante el uso del diagrama, es más fácil identificar las partes comunes (intersección) y así descubrir el número de elementos en la unión.
Ejemplo
Se realizó una encuesta entre 100 estudiantes de una escuela sobre el consumo de tres marcas de refrescos: A, B y C. El resultado obtenido fue: 38 estudiantes consumen marca A, 30 marca B, 27 marca C; 15 consumen las marcas A y B, 8 las marcas B y C, 19 las marcas A y C y 4 consumen los tres refrescos.
Considerando los datos de la encuesta, ¿cuántos estudiantes consumen solo una de estas marcas?
Solución
Para resolver este tipo de preguntas, comencemos dibujando un diagrama de Venn. Cada marca de refresco estará representada por un círculo.
Comencemos por ubicar el número de estudiantes que consumen las tres marcas simultáneamente, es decir, la intersección de las marcas A, B y C.
Tenga en cuenta que el número que consume las tres marcas también está incrustado en el número que consume dos marcas. Entonces, antes de poner estos valores en el diagrama, debemos dibujar a estos estudiantes en común.
Debemos hacer lo mismo por el número que consume cada marca, ya que allí también se repiten las partes comunes. Todo este proceso se muestra en la siguiente imagen:
Ahora que sabemos el número de cada parte del diagrama, podemos calcular el número de estudiantes que consumen solo una de estas fichas sumando los valores de cada conjunto. Entonces tenemos:
Número de personas que consumen solo una de las marcas = 11 + 8 + 4 = 23
Ejercicios resueltos
1) UERJ – 2015
En una escuela circulan dos periódicos: Correio do Grêmio y O Estudante. En cuanto a la lectura de estos periódicos, por parte de los 840 alumnos de la escuela, se sabe que:
- El 10% no lee estos periódicos;
- 520 leyó el periódico The Student;
- 440 leyó el periódico Correio do Grêmio.
Calcule el número total de estudiantes de la universidad que leyeron ambos periódicos.
B)2) Enem – 2013
En una escuela con 1200 alumnos se realizó una encuesta sobre sus conocimientos en dos idiomas extranjeros, inglés y español.
Esta investigación encontró que 600 estudiantes hablan inglés, 500 hablan español y 300 no hablan ninguno de estos idiomas.
Al elegir un estudiante de esta escuela al azar y sabiendo que no habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que este estudiante hable español?
