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Los decimales periódicos son números decimales periódicos, es decir, tienen uno o más dígitos que se repiten infinitamente en el mismo orden. El dígito que se repite se llama punto.
Los números decimales periódicos pertenecen al conjunto de números racionales (
), ya que pueden escribirse como una fracción. Por ejemplo, el número 0.444 … también se puede escribir como 
.
Cuando un número es decimal infinito, pero no tiene dígitos repetidos, es decir, no tiene punto, no será un decimal periódico sino un número irracional.
Diezmos periódicos simples y compuestos
Los decimales se llaman simples cuando presentan la parte entera y después de la coma solo los números que se repiten.
Ejemplos de decimales periódicos simples son:
- 0.34343434 … → parte entera igual a 0 y período igual a 34
- 1,2222222 … → parte entera igual a 1 y período igual a 2
- 234,193193193 … → parte entera igual a 234 y período igual a 193
Los decimales periódicos compuestos, en cambio, tienen la parte entera y después de la coma los dígitos que no se repiten, además de los dígitos que se repiten.
Ejemplos de diezmos compuestos son:
- 3.125555 … → parte entera igual a 3, parte no periódica igual a 12 y período igual a 5.
- 1.7863333 … → parte entera igual a 1, parte no periódica igual a 786 y período igual a 3.
- 11.2350505050 … → parte entera igual a 11, parte no periódica igual a 23 y período igual a 50.
Representación de diezmos periódicos
Los decimales se pueden escribir en forma de fracción generadora o en forma de número decimal. Cuando se escribe en forma decimal, colocamos tres puntitos al final para indicar que los dígitos se repiten infinitamente.
También podemos representar este tipo de número colocando un guión horizontal justo encima de su período.
Ejemplos de
fracción generadora
Como hemos visto, los decimales periódicos son números racionales y para encontrar la fracción generadora de un decimal podemos aplicar un método práctico.
Si el número es un decimal simple, debemos poner en el numerador un número formado por los dígitos enteros y el punto, menos los dígitos enteros, sin la coma. En el denominador, ponemos un número formado por «nueves».
El número de «nueves» dependerá de cuántos dígitos componen el período del diezmo. Por ejemplo, en el diezmo 3.1717 … el período se compone de 2 dígitos (17), por lo que el denominador será igual a 99.
Si el decimal está compuesto, el numerador se obtendrá restando el número formado por los dígitos de la parte entera, los dígitos que no se repiten y el punto (sin la coma) y el número formado por la parte entera y el que no se repite, también sin la coma.
En el denominador también ponemos tantos nueves como dígitos del período, sin embargo, tenemos que sumar ceros según el número de dígitos que no se repitan en la parte decimal.
Ejemplo
Encuentre la fracción generadora de los diezmos que se indica a continuación:
a) 4.5555 …
b) 7.38282 …
Solución
a) El número 4555 … es un decimal periódico simple. En este caso, el denominador tendrá solo un dígito nueve, ya que su período tiene un solo dígito (5). Por tanto, la fracción será igual a:
b) Dado que 7.38282 … es un decimal periódico compuesto, tendremos el número 990 en el denominador, ya que el período está formado por 2 dígitos (82) y solo tenemos 1 dígito que no se repite en la parte decimal (3 ).
Video
Hay varias formas de representar el mismo número. Podemos, por ejemplo, escribir el número 1 como 0.9999 ….
¿Crees que estos dos números son realmente iguales? ¿No? Así que mira el video y saca tus propias conclusiones.
Ejercicios resueltos
1) Enem (PPL) – 2014
Un estudiante se ha registrado en una red social de Internet que muestra el índice de popularidad del usuario. Este índice es la relación entre el número de usuarios admiradores y el número de personas que visitan su perfil en la red. Al acceder hoy a su perfil, el estudiante encontró que su índice de popularidad es 0.3121212 …
El índice revela que las cantidades relativas de estudiantes admiradores y personas que visitan su perfil son
a) 103 de 330.
b) 104 de 333.
c) 104 de 3333.
d) 139 de 330.
e) 1.039 de cada 3.330.
2) PUC / RJ – 2003
La suma de 1.3333 … + 0.16666 … es igual a:
Para obtener más información, consulte también:
