Efecto Compton – Física –

Compton pudo explicar la naturaleza corpuscular de la radiación de forma experimental en 1923. Diseñó un mecanismo que provocó que un haz de rayos X de longitud de onda λ golpeara un objetivo de grafito. Señala que existe una relación entre la deflexión del electrón y la deflexión que sufre el fotón emergente, que se discutirá a continuación, en un análisis particular de la interacción entre un fotón y un electrón.

Considere un fotón en curso de colisión con un electrón, como se muestra en la Figura 01:

Cuando un fotón golpea un electrón, hay una transferencia de momento lineal y energía cinética. La energía de un fotón viene dada por:

E = hf (1.a)

Llamaremos E₀ la energía del fotón incidente, así que simplemente escribiremos:

Y₀ = hf (1.b)

Sabemos que la energía relativista total de una partícula que se mueve a velocidades relativistas viene dada por la expresión:

E² = c².p_y² + m₀².c⁴ (2.a)

Entonces podemos escribirlo para el electrón:

E² = c².p_y² + m₀².c⁴ (2.b)

Para el fotón incidente, esta energía está dada por

Y₀² = c².p₀² + m₀².c⁴ (2.c)

El término que contiene la masa en reposo es cero, ya que el fotón no tiene masa en reposo. De esta forma, para el momento lineal p₀ del fotón incidente, obtenemos:

por₀ = Y₀/ c (3.a)

Lo cual se puede escribir en función del producto de la constante de Planck y su frecuencia, hf, que da:

por₀ = h / λ₀ (3.b)

El momento lineal p ‘del fotón emergente está dado por

p ‘= E’ / c (3.c)

Que se puede escribir como:

p ‘= h / λ’ (3.d)

El momento lineal del electrón emergente p_y Está dado por:

por_y = m_y.v_y (4.a)

El momento lineal se conserva, por lo que para la forma vectorial del momento lineal total obtendremos:

por₀ = por‘+ por_y (5.a)

Que se puede descomponer en componentes a lo largo de los ejes xey, y luego escribir en función de los ángulos de dispersión con respecto a la línea de trayectoria inicial, en la dirección x:

por₀ = p’.cosθ + p_y.cosφ (6.a)

Y, en la dirección y, tendremos:

por’. sinθ = p_y.senφ (7.a)

Al elevar al cuadrado las ecuaciones respectivas, obtenemos:

(por₀ – p’.cosθ) ² = p_y².cos²φ

Lo que da, para el componente x:

por₀² – 2p₀.p’.cosθ + p’².cos²θ = p_y².cos²φ (6.b)

Y para el componente y:

p’².sen²θ = pe².sen²φ (7.b)

Sumando las dos últimas ecuaciones, obtenemos:

p’².sen²θ + p0² – 2. p0.p’.cosθ + p’².cos²θ = pe². (sen²φ + cos²φ) (8.a)

Se sabe que

sin²φ + cos²φ = 1 (9)

De esta forma obtenemos:

p0² + p’². (sen²θ + cos²θ) – 2. p0.p’.cosθ = pe² ​​(15)

Se sabe que

sin²θ + cos²θ = 1 (10)

Entonces obtenemos:

por₀² – 2. p₀.p’.cosθ + p’² = p_y² (11.a)

Se conserva la energía relativista total. Entonces podemos escribir:

Y₀ + m₀.c² = E ‘+ K + m₀.c² (12.a)

Los términos₀.c² se cancelan entre sí y obtenemos:

Y₀ – E ‘= K (13.a)

Podemos escribir esta expresión usando los resultados de las ecuaciones (3.a) y (3.b)

c. (p₀ – p ‘) = K (13.b)

Podemos tomar E = K + m₀.c² y reemplace en (2.a) y obtenga:

(K + m₀.c²) ² = c².p_y² + (m₀.c²) ² (14.a)

Al desarrollar esta expresión, obtenemos:

K² + 2.Km₀.c² + m₀².c⁴ = c².p_y² + m₀².c⁴ (14.b)

Lo que, en pocas palabras, da:

K² + 2.Km₀.c² = c².p_y² (14.c)

Dividiendo por c²:

K² / c² + 2.Km₀ = p_y² (14.c)

Ingresamos la energía cinética de la ecuación (13.b) y p² de la ecuación (11.a) en esta última, y ​​luego obtenemos:

c². (pág.₀ – p ‘) ² / c² + 2.m₀.c. (pág.₀ – p ‘) = p₀² + p’² – 2.p₀.p’.cosθ (15.a)

Lo que se reduce a:

(por₀ – p ‘) ² + 2.m₀.c. (pág.₀ – p ‘) = p₀² + p’² – 2.p₀.p’.cosθ (15.b)

Desarrollamos los términos:

por₀² – 2.p₀.p ‘+ p’² + 2.m₀.c. (pág.₀ – p ‘) = p₀² + p’² – 2.p₀.p’.cosθ (15.c)

Cancelamos términos similares:

– 2.p₀.p ‘+ 2.m₀.c. (pág.₀ – p ‘) = – 2.p₀.p’.cosθ (15.c)

Pasando el término – 2.p₀.p ‘al lado derecho y dividiendo por 2 obtenemos:

metro₀.c. (pág.₀ – p ‘) = p₀.p ‘(1 – cos’) (15.d)

Podemos mejorar esta expresión dividiendo todo entre m.₀.cp₀.p ‘, y obtenemos:

Multiplicando por hy aplicando las ecuaciones (3.b) y (3.d) obtenemos una expresión conocida como ecuación de Compton.

λ ‘- λ₀ = (h / m₀.c). (1 – cosθ)

El término h / m₀.c se llama la longitud de onda de Compton del electrón, llamado λ_C. Su valor numérico se obtiene sustituyendo los valores numéricos de la constante de Planck h, de la masa en reposo del electrón m₀ y la velocidad de la luz c, de modo que obtienes:

λ_C = h / m₀.c = 2.43×10^-12metro

El término λ ‘- λ₀ = Δλ se denomina desplazamiento de Compton y depende del ángulo de desviación de la dirección del fotón incidente y es independiente de la longitud de onda inicial.

Los resultados de Compton generan el gráfico de Δλ versus θ, representado a continuación:

Referencias bibliográficas:
EISBERG, Robert RESNICK, Robert. Física cuántica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. Traducción de Paulo Costa Ribeiro, Ênio Costa da Silveira y Marta Feijó Barroso. Río de Janeiro: Campus, 1979