Mecánica Lagrangiana – Física –

La formulación de la mecánica clásica postulada por Joseph-Louis de Lagrange relaciona la conservación de la energía mecánica con la conservación del momento lineal de un sistema dinámico. Es un predecesor de las formulaciones de la mecánica hamiltoniana y newtoniana, por lo que se le considera de fundamental importancia.

Función lagrangiana

LOS Función lagrangiana puede ser definido por:

Así, Lagrangiano (una función de coordenadas) es igual a la diferencia entre la energía cinética (T) y potencial (U) de una partícula en movimiento, teniendo en cuenta la tasa de cambio de las coordenadas generalizadas, las velocidades de las partículas generalizadas y el tiempo: solo la energía potencial es unidimensional, que se basa en las coordenadas de posición de la partícula.

Lagrange y el principio de Hamilton

La mecánica hamiltoniana sostiene que entre las diversas formas en que un sistema dinámico tiene que moverse entre dos puntos, la que hace que la diferencia entre las energías cinética y potencial sea menor se elegirá espontáneamente. De modo que:

A partir de este principio hamiltoniano, obtenemos las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden en t de Euler-Lagrange:

De estas ecuaciones diferenciales parciales se concluye que, en un sistema conservador, la diferencia entre el Lagrangiano de dos puntos consecutivos en relación al tiempo es nula. También lo son las pérdidas de energía.

Para un sistema no conservador (disipativo), se aplica lo siguiente:

En este caso, la diferencia entre los lagrangianos es igual al trabajo realizado por las fuerzas generalizadas que actúan sobre la partícula a determinadas distancias. Estas distancias, también representadas por coordenadas n-dimensionales:

Ser = vector que representa la posición de la partícula, y = coordenadas n-dimensionales de la partícula.

Conservación del momento lineal

La mecánica lagrangiana (porque tiene un sistema de coordenadas más general que la mecánica newtoniana, por ejemplo) puede resolver problemas más complejos y discriminar fenómenos que pueden alcanzar velocidades relativistas (velocidades muy altas) con la misma precisión que las de velocidades más bajas.

Considerando que el espacio es totalmente homogéneo y conservador, y que las coordenadas generalizadas son solo una función de una dimensión espacial (representada por un solo módulo del vector de posición r), tenemos que:

Con pérdidas de energía iguales a cero, según las ecuaciones de Euler-Lagrange:

Y, aun así, considerando el movimiento lineal de una partícula igual a por, siendo esto igual a:

Sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos:

Por tanto, el momento de una partícula no varía con el tiempo si está contenida en un espacio homogéneo y conservador.

Fuentes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Mecânica_lagrangeana (consultado el 01/04/2010)
http://200.145.134.134/twiki/pub/Main/DisciplinaClassica/hamilton.pdf (consultado el 1 de abril de 2010)