Cálculo de funciones cuadráticas: toda la materia

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LA función cuadrática, también llamado Función polinomial de segundo grado, es una función representada por la siguiente expresión:

f (x) = ax^dos + bx + c

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Dónde La, B y C son números reales y La ≠ 0.

Ejemplo:

f (x) = 2x^dos + 3x + 5,

ser,

a = 2
b = 3
c = 5

En este caso, el polinomio de la función cuadrática es de grado 2, ya que es el mayor exponente de la variable.

¿Cómo resolver una función cuadrática?

Revisar la paso a paso a través de un ejemplo de resolución de la función cuadrática:

Ejemplo

Encuentre a, byc en la función cuadrática dada por: f (x) = ax^dos + bx + c, siendo:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Primero, reemplacemos el X por los valores de cada función y así tenemos:

f (-1) = 8
a 1)^dos + b (–1) + c = 8
a – b + c = 8 (ecuación I)

f (0) = 4
La . 0^dos + b. 0 + c = 4
c = 4 (ecuación II)

f (2) = 2
La . dos^dos + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (ecuación III)

Por la segunda función f (0) = 4, ya tenemos el valor de c = 4.

Entonces, sustituyamos el valor obtenido por C en las ecuaciones I y III para determinar las otras incógnitas (La y B):

(Ecuación I)

a – b + 4 = 8
a – b = 4
a = b + 4

Dado que tenemos la ecuación de La por la ecuación I, sustituyamos en III para determinar el valor de B:

(Ecuación III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = – 2
4 (b + 4) + 2b = – 2
4b + 16 + 2b = – 2
6b = – 18
b = – 3

Finalmente, para encontrar el valor de La reemplazamos los valores de B y C que ya se han encontrado. Pronto:

(Ecuación I)

a – b + c = 8
a – (- 3) + 4 = 8
a = – 3 + 4
a = 1

Por tanto, los coeficientes de la función cuadrática dada son:

a = 1
b = – 3
c = 4

Raíces de función

Las raíces o ceros de la función cuadrática representan valores de x tales que f (x) = 0. Las raíces de la función se determinan resolviendo la ecuación cuadrática:

f (x) = ax^dos + bx + c = 0

Para resolver la ecuación de segundo grado podemos utilizar varios métodos, uno de los más utilizados es aplicar la Fórmula de Bhaskara, es decir:

Ejemplo

Encuentre los ceros de la función f (x) = x^dos – 5x + 6.

Solución:

Ser
a = 1
b = – 5
c = 6

Sustituyendo estos valores en la fórmula de Bhaskara, tenemos:

Entonces las raíces son 2 y 3.

Tenga en cuenta que el número de raíces de una función cuadrática dependerá del valor obtenido por la expresión: Δ = b^dos – 4. ac, que se llama discriminante.

Así,

• Si Δ> 0, la función tendrá dos raíces reales y distintas (x₁ ≠ x_dos);
• Si Δ, la función no tendrá una raíz real;
• Si Δ = 0, la función tendrá dos raíces reales e iguales (x₁ = x_dos).

Gráfica de la función cuadrática

La gráfica de funciones de segundo grado son curvas que se llaman parábolas. A diferencia de las funciones de 1er grado, donde conociendo dos puntos es posible dibujar la gráfica, en las funciones cuadráticas es necesario conocer varios puntos.

La curva de una función cuadrática corta el eje x en las raíces o ceros de la función, en un máximo de dos puntos dependiendo del valor del discriminante (Δ). Entonces tenemos:

• Si Δ> 0, el gráfico cortará el eje x en dos puntos;
• Si Δ
• Si Δ = 0, la parábola tocará el eje x en un solo punto.

Todavía hay otro punto, llamado vértice de la parábola, que es el valor máximo o mínimo de la función. Este punto se encuentra utilizando la siguiente fórmula:

El vértice representará el punto de valor máximo de la función cuando la parábola mire hacia abajo y el valor mínimo cuando mire hacia arriba.

Es posible identificar la posición de la concavidad de la curva analizando solo el signo del coeficiente La. Si el coeficiente es positivo, la concavidad mirará hacia arriba y si es negativo será hacia abajo, es decir:

Entonces, para esbozar la gráfica de una función de segundo grado, podemos analizar el valor de La, calcula los ceros de la función, su vértice y también el punto donde la curva corta el eje y, es decir, cuando x = 0.

A partir de los pares ordenados dados (x, y), podemos construir la parábola en un plano cartesiano, uniendo los puntos encontrados.

Ejercicios de examen de ingreso con comentarios

1. (Vunesp-SP) Todos los valores posibles de metro que satisfacen la desigualdad 2x^dos – 20x – 2m> 0, para todos X pertenecientes al conjunto de los reales, están dados por:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) yo) m

dos. (UE-CE) La gráfica de la función cuadrática f (x) = ax^dos + bx es una parábola cuyo vértice es el punto (1, – 2). El número de elementos del conjunto x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} que pertenecen a la gráfica de esta función es:

a 1
b) 2
c) 3
d) 4

3. (Cefet-SP) Saber que las ecuaciones de un sistema son x. y = 50 y x + y = 15, los valores posibles para X y y ellos son:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

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