Circunferencia – Geometría plana –

Circunferencia es la figura geométrica formada por todos los puntos que son igualmente equidistantes de un punto fijo, llamado centro. Esta distancia entre el centro y cada punto se llama radio (r).

Matemáticamente, un círculo ? (O, r) se denota por: .

Por tanto, todos los puntos de la circunferencia tienen la misma distancia del centro. La distancia del punto A al centro, por ejemplo, es la misma entre el punto B y el centro.

Posición relativa de un punto

Podemos determinar la posición de un punto en relación a un círculo sin tener que “dibujar el punto y el círculo”.

Un punto puede estar dentro, fuera o pertenecer al círculo. Consideremos cualquier punto x.

Si x es interno al círculo, .

Si x pertenece al círculo, .

Si x está fuera del círculo, .

Interior y exterior

El conjunto de todos los puntos fuera de la circunferencia se denomina «exterior».

El conjunto de todos los puntos que se encuentran dentro del círculo se llama su «interior».

Así, considerando un círculo ? (O, r), círculo con centro O y radio r, podemos decir que:

Dentro:

Dentro:

Donde P es cualquier punto que pueda estar dentro o fuera del círculo.

Cuerda, diámetro y radio

La cuerda de un círculo es el segmento que tiene los dos extremos que pertenecen al círculo. En la figura, AB es una cuerda.

El diámetro de un círculo es una cuerda que pasa por el centro del círculo. En la figura, CD es un diámetro.

El radio de un círculo es un segmento que tiene un extremo en el centro y un extremo que pertenece al círculo. En cualquier circunferencia, el radio siempre será la mitad del diámetro. En la figura, OE es un rayo.

Arco de circunferencia y semicircunferencia

Dada cualquier circunferencia y dos puntos A y B, que no pueden ser los extremos de un diámetro, llamamos arco al conjunto de puntos que pertenecen al círculo que están entre A y B. B y A.

Podemos decir que los arcos son «piezas» de la circunferencia. Un círculo con los puntos A y B siempre delimitará dos arcos, uno más grande y otro más pequeño.

Cuando los puntos A y B son extremos de un diámetro, el arco será igual al arco y este arco lo llamamos semicircunferencia.

Circulo

Podemos definir un círculo como el conjunto de todos los puntos interiores de un círculo, es decir, es el espacio contenido dentro del círculo.

Entonces, está claro que:

• Circunferencia: solo la «línea» exterior.
• Círculo: circunferencia más su interior.

área de un círculo

El área de un círculo se puede determinar matemáticamente mediante:

Donde r es la medida del círculo y un valor constante suele ser igual a 3,14.

sector circular

Un sector circular es una región del círculo delimitada por dos de sus radios comenzando desde el centro y un arco.

Por lo general, podemos llamar a un sector circular una «rebanada de pizza» debido a su forma. el ángulo se llama ángulo central.

Tenga en cuenta que siempre tenemos dos sectores circulares, uno más grande y otro más pequeño (partes gris y azul, respectivamente).

Para calcular el área de un sector circular, usamos las fórmulas:

y

Donde en el primero necesitamos el valor del ángulo y radio del sector y en el segundo necesitamos el radio y longitud del arco L del sector.

perímetro de un círculo

En cualquier circunferencia, la relación entre la medida C de su longitud (perímetro) y la medida 2r de su diámetro (ya que el diámetro es el doble del radio, o el radio es la mitad del diámetro) es constante. Es decir, si tomamos alguna circunferencia, la razón siempre será igual en cualquier otro círculo.

Este valor constante, , se llama (Pi). Este número tiene un número infinito de decimales, ya que es un número irracional. Su valor aproximado es 3,14159265 ….

Solemos considerar que .

Entonces, partiendo de la igualdad , llegamos a la conclusión de que .

Entonces, el perímetro de un círculo, simplemente llamado longitud, está determinado por el producto del diámetro (d = 2r) por .

Ejemplos de

1. ¿Cuál es el perímetro de un círculo cuyo radio es de 3 cm?

Aplicando la fórmula:

2. (Enem – 2010). Una fábrica de tubos empaqueta tubos cilíndricos más pequeños dentro de otros tubos cilíndricos. La figura muestra una situación en la que cuatro tubos cilíndricos se empaquetan ordenadamente en un tubo con un radio más grande.

Suponga que usted es el operador de la máquina que producirá los tubos más grandes en los que se colocarán cuatro tubos cilíndricos internos, sin ajustes ni espacios. Si el radio de la base de cada uno de los cilindros más pequeños es igual a 6 cm, la máquina que opere debe ajustarse para producir tubos más grandes, con un radio de base igual a

Dibujamos una línea que será la diagonal del tubo más grande, segmento AB.

Tenga en cuenta que los segmentos CE y ED tienen ambos 12 cm de largo, ya que están compuestos por dos radios, uno de cada tubo más pequeño.

Por lo tanto, el diámetro del tubo más grande será CD + AC + DB.

Como AC y DB miden 6 cm, como son radios, tenemos que la medida AB será:

AB = 12 + CD.

Para calcular CD, podemos usar el Teorema de Pitágoras:

Así,

AB = 12 + cm

AB = 12 (1 + ) cm

Pero observe que el ejercicio pide el radio, así que divida AB entre 2:

AB = 6 (1 + ) cm

Referencias:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elemental. Geometria plana. Vol. 9. São Paulo: Actual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemáticas: ángulos de la circunferencia. Vol. 3. São Paulo: Bernoulli.