Función polinomial:

1. definición
   

2. Matemáticas
3. ›
4. Roles

Las funciones polinomiales se definen mediante expresiones polinómicas. Están representados por la expresión:

f (x) = a_No . X^No + el_{n – 1} . X^{n – 1} + … + a_dos . X^dos + el₁ . x + a₀

Dónde,

n: entero positivo o nulo
x: variable
La₀, a₁, ….a_{n – 1}, a_No: coeficientes
La_No . X_No, a_{n – 1} . X_{n – 1}, … La₁ . x, el₀: términos

Cada función polinomial está asociada con un solo polinomio, por lo que llamamos a las funciones polinomiales también polinomios.

Valor numérico de un polinomio

Para encontrar el valor numérico de un polinomio, sustituimos un valor numérico en la variable x.

Ejemplo

¿Cuál es el valor numérico de p (x) = 2x³ + x^dos – 5x – 4 para x = 3?

Sustituyendo el valor en la variable x tenemos:

dos . 3³ + 3^dos – 5. 3-4 = 54 + 9-15-4 = 44

Grado de polinomios

Dependiendo del mayor exponente que tengan en relación a la variable, los polinomios se clasifican en:

• Función polinomial de grado 1: f (x) = x + 6
• Función polinomial de grado 2: g (x) = 2x^dos + x – 2
• Función polinomial de grado 3: h (x) = 5x³ + 10 veces^dos – 6x + 15
• Función polinomial de grado 4: p (x) = 20x⁴ – 15x³+ 5 veces^dos + x – 10
• Función polinomial de grado 5: q (x) = 25x⁵ + 12x⁴ – 9 veces³ + 5 veces^dos + x – 1

Nota: el polinomio nulo es aquel que tiene todos los coeficientes iguales a cero. Cuando esto ocurre, el grado del polinomio no está definido.

Gráficos de funciones polinomiales

Podemos asociar una gráfica con una función polinomial asignando valores ax en la expresión p (x).

De esta forma encontraremos los pares ordenados (x, y), que serán puntos pertenecientes a la gráfica.

Conectando estos puntos tendremos el croquis de la gráfica de la función polinomial.

Vea algunos ejemplos de gráficos:

Función polinomial de grado 1

Función polinomial de grado 2

Función polinomial de grado 3

Igualdad de polinomios

Dos polinomios son iguales si los coeficientes de términos del mismo grado son todos iguales.

Ejemplo

Encuentre el valor de a, b, cyd para que los polinomios p (x) = ax⁴ + 7x³ + (b + 10) x^dos – ceh (x) = (d + 4) x³ + 3bx^dos + 8.

Para que los polinomios sean iguales, los coeficientes correspondientes deben ser iguales.

Luego,

a = 0 (el polinomio h (x) no tiene el término x⁴, por lo que su valor es igual a cero)
b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5
– c = 8 → c = – 8
d + 4 = 7 → d = 7-4 → d = 3

Operaciones con polinomios

Vea a continuación ejemplos de operaciones entre polinomios:

Adición

(-7x³ + 5 veces^dos – x + 4) + (-2x^dos + 8x -7)
– 7x³ + 5 veces^dos – 2x^dos – x + 8x + 4 – 7
– 7x³ + 3 veces^dos + 7x -3

Sustracción

(4 veces^dos – 5x + 6) – (3x – 8)
4x^dos – 5x + 6 – 3x + 8
4x^dos – 8x + 14

Multiplicación

(3 veces^dos – 5x + 8). (-2x + 1)
– 6x³ + 3 veces^dos + 10 veces^dos – 5x – 16x + 8
– 6x³ + 13x^dos – 21 veces + 8

División

Nota: En la división de polinomios usamos el método clave. Primero realizamos la división entre los coeficientes numéricos y luego la división de potencias de la misma base. Para hacer esto, mantén la base y resta los exponentes.

La división está formada por: dividendo, divisor, cociente y resto.

divisor. cociente + resto = dividendo

Teorema del reposo

El teorema del resto representa el resto en la división de polinomios y tiene la siguiente declaración:

El resto de la división de un polinomio f (x) por x – a es igual af (a).

Lea también:

Ejercicios de examen de ingreso con comentarios

1. (FEI – SP) El resto de la división del polinomio p (x) = x⁵ + x⁴ – X³ + x + 2 por el polinomio q (x) = x – 1 es:

a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

2. (Vunesp-SP) Si a, b, c son números reales tales que ax^dos + b (x + 1)^dos + c (x + 2)^dos = (x + 3)^dos para todo x real, entonces el valor de a – b + c es:

a) – 5
b) – 1
c) 1
d) 3
e) 7

3. (UF-GO) Considere el polinomio:
p (x) = (x – 1) (x – 3)^dos (x – 5)³ (x – 7)⁴ (x – 9)⁵ (x – 11)⁶.
El grado de p (x) es igual a:

a) 6
b) 21
c) 36
d) 720
e) 1080

4. (Cefet-MG) El polinomio P (x) es divisible por x – 3. Dividiendo P (x) por x – 1 se obtiene el cociente Q (x) y el resto 10. En estas condiciones, el resto es la división de Q (x) por x – 3 es:

a) – 5
b) – 3
c) 0
d) 3
e) 5

5. (UF-PB) En la inauguración de la plaza se realizaron diversas actividades recreativas y culturales. Entre ellos, en el anfiteatro, un profesor de Matemáticas dio una conferencia a varios estudiantes de secundaria y propuso el siguiente problema: Encuentra valores para ayb, de modo que el polinomio p (x) = ax³ + x^dos + bx + 4 es divisible por
q (x) = x^dos – x – 2. Algunos estudiantes resolvieron correctamente este problema y, además, encontraron que ayb satisfacen la relación:

a) a^dos + b^dos = 73
b) el^dos – B^dos = 33
c) a + b = 6
da^dos + b = 15
e) a – b = 12