Posiciones relativas de dos rectas – Matemáticas

En matemáticas, la geometría analítica estudia las ecuaciones y sus representaciones a través de un sistema de coordenadas cartesianas. Centrándonos en el estudio de las líneas rectas, algunas propiedades y condiciones son elementales para interpretar su comportamiento.

ecuaciones lineales

A continuación, se muestran algunas opciones para representar una ecuación lineal:

1) Una ecuación lineal se puede representar en el plano por una línea, o una línea recta, en el plano cartesiano en dos dimensiones, donde en forma reducida se describe por:

y = mx + b

Donde:

• metro es el coeficiente angular de la línea
• B es el punto de intersección con el eje y (coeficiente lineal)
• X es la variable aleatoria

2) Recordando brevemente el concepto de funciones de primer grado, se puede escribir una ecuación de línea recta como una función f, de tipo:

f (x) = mx + b

3) También tenemos lo que llamamos la forma general de la ecuación en línea recta, donde:

ax + por + c = 0

Donde:

• es la pendiente de la línea;
• es el punto de intersección con el eje y (coeficiente lineal);
• X es la variable aleatoria;

4) Podemos obtener la pendiente de una recta dados dos puntos, o dos coordenadas en el plano A = (x₁y₁) y B = (x_dosy_dos). Siendo dos puntos distintos, tenemos:

Donde se puede obtener otra forma de la ecuación general de la línea recta, dados dos puntos:

5) Suponiendo que ya tenemos dos puntos distintos y queremos saber qué línea pasa por estos dos puntos. Podemos representar la ecuación general de la recta a partir del determinante de la matriz, que vendrá dada por:

Representación gráfica

Podemos describir gráficamente una ecuación de línea recta de la siguiente manera:

En el punto donde y = 0, encontramos la intersección de la línea con el eje x. El punto B es la intersección de la línea con el eje y y la tangente del ángulo α formado entre la línea y el eje x es nuestra pendiente m. O sea:

Ejemplos de líneas

Línea: y = x
Coeficiente angular: m = 1
Coeficiente lineal: b = 0

Línea: y = -x
Coeficiente angular: m = -1
Coeficiente lineal: b = 0

Ecuación reducida: y = -x + 1
Coeficiente angular: m = -1
Coeficiente lineal: b = 1

Ecuación reducida: y = x + 1
Coeficiente angular: m = 1
Coeficiente lineal: b = 1

Ecuación reducida: y = -2x + 2
Ecuación general: 2x + y-2 = 0
Coeficiente angular: m = -2
Coeficiente lineal: b = 2

Ecuación reducida: y = 3x-1
Ecuación general: -3x + y + 1 = 0
Coeficiente angular: m = 3
Coeficiente lineal: b = -1

Posición relativa entre líneas

Dadas dos rectas, o ecuaciones de rectas, sus clasificaciones en relación a la posición entre ellas asumirán algunas clasificaciones, estas son:

paralelo

Dos rectas se consideran paralelas cuando la pendiente de una es igual a la otra y trazando una recta perpendicular que pasa por las dos rectas, el ángulo formado es de 90º. En otras palabras, dos líneas paralelas nunca se cruzan en el plano. En notación, escribimos que // (r es paralelo a).

Ejemplo 1) Dadas dos líneas r y s distinto, tal que , son paralelos porque:

Ver gráficamente:

Por definición, también podemos decir que si dos rectas son paralelas, entonces el ángulo formado entre la recta y el eje x de r (a_r) será igual a la línea s (a_s). Luego:

competidores

Decimos que dos líneas son concurrentes cuando se les dan dos líneas distintas, sus pendientes son diferentes:

Ejemplo 2): Deje que las líneas , vemos eso:

Gráficamente tenemos:

Perpendicular

Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo formado entre ellas es de 90º, lo que en notación significa que . O sea:

Ejemplo 3) Sean las rectas tenemos que :

Si dos líneas son perpendiculares, vale la pena decir que:

Referencias bibliográficas:

INVIERNO, Paulo. Vectores y geometría analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.