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Dos triángulos son similares cuando tienen los tres ángulos perfectamente congruentes (la misma medida) y los lados proporcionales correspondientes. Usamos el símbolo ~ para indicar que dos triángulos son similares.
Para saber cuáles son los lados proporcionales, primero debemos identificar los ángulos de la misma medida. Los lados homólogos (correspondientes) serán los lados opuestos a estos ángulos.
Razón de proporcionalidad
Como en los triángulos semejantes los lados homólogos son proporcionales, el resultado de la división de estos lados será un valor constante. Este valor se llama relación de proporcionalidad.
Considere los triángulos ABC y EFG similares, representados en la siguiente figura:
Los lados La y y, B y gramo, C y F son homólogos, por lo tanto, tenemos las siguientes proporciones:
Donde k es la razón de proporcionalidad.
Lea también sobre Razón y Proporción.
Casos de similitud
Para identificar si dos triángulos son similares, simplemente marque algunos elementos.
1er caso: Dos triángulos son similares si dos ángulos de uno son congruentes con dos del otro. Criterio AA (ángulo, ángulo).
2do caso: Dos triángulos son similares si los tres lados de uno son proporcionales a los tres lados del otro. Criterio LLL (lateral, lateral, lateral).
3er caso: Dos triángulos son similares si tienen un ángulo congruente entre lados proporcionales. Criterios LAL (Lado, Ángulo, Lado).
Teorema de similitud fundamental
Cuando una línea paralela a un lado de un triángulo se cruza con los otros dos lados en diferentes puntos, forma un triángulo que es similar al primero.
En la siguiente figura, representamos el triángulo ABC y la línea r paralelo al lado 
.
Mirando la figura, notamos que los ángulos 
son congruentes, así como los ángulos 
porque la recta r es paralelo al lado 
. Por tanto, según el criterio AA, los triángulos ABC y ADE son similares.
Lea también sobre el Teorema de Cuentos y el Teorema de Cuentos – Ejercicios.
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Los triángulos que tienen un ángulo igual a 90 ° se llaman triángulos rectángulos. El lado opuesto al ángulo de 90º se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman colectores.
En el triángulo que se muestra a continuación, el lado La es la hipotenusa y B y C son los coleccionistas.
Al trazar la altura relativa a la hipotenusa, dividimos el triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos. Como se muestra abajo:
Observando las medidas de los ángulos de estos tres triángulos, nos damos cuenta de que son similares, es decir:
.
Usando las proporciones entre los lados, determinamos las siguientes relaciones:
Estas relaciones son muy importantes y se denominan relaciones métricas en el triángulo rectángulo.
Para obtener más información sobre los triángulos, lea también:
Congruencia de triángulos
Los triángulos semejantes no son triángulos iguales. Los triángulos se consideran congruentes (iguales) cuando coinciden al superponerse.
Casos de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando se verifica uno de los siguientes casos:
1er caso: Los tres lados son respectivamente congruentes.
2do caso: Dos lados congruentes (misma medida) y el ángulo formado por ellos también es congruente.
3er caso: dos ángulos congruentes y el lado entre ellos congruente.
Ejercicios
1) Dados los triángulos a continuación, responda:
a) ¿Son similares? Justifica la respuesta.
b) ¿Cuál es el ángulo que no aparece en las figuras?
dos) Enem 2013
El propietario de un sitio tiene la intención de colocar una varilla de soporte para asegurar mejor dos postes de longitudes iguales a 6 my 4 m. La figura representa la situación real en la que los postes están descritos por los segmentos AC y BD y la varilla está representada por el segmento EF, todo perpendicular al suelo, que está indicado por el segmento AB recto. Los segmentos AD y BC representan cables de acero que se instalarán.
¿Cuál debería ser el valor de la longitud de la varilla EF?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 √6 m
