análisis griego descomposición analusis –

Una rama de las matemáticas que incluye la cálculo infinitesimal, los teoría de funciones y el cálculo de variaciones. (El análisis encuentra aplicaciones en varias otras ramas de las matemáticas, así como en la física).

MATEMÁTICAS

Las diversas ramas de las matemáticas que constituyen el análisis moderno (funciones analíticas, funciones elípticas, series infinitas, cálculo de variaciones, ecuaciones diferenciales y diferenciales parciales, geometría diferencial, medición e integración, análisis funcional, topología) provienen de un núcleo común: cálculo infinitesimal. , creación de xvii^mi s. cuyo origen se remonta a la antigüedad. Encontramos rastros de ello en las técnicas de aproximación de los babilonios y griegos. Con Aristóteles, nos damos cuenta de la existencia de magnitudes irracionales que justifican tales técnicas. Con Euclides y especialmente con Arquímedes, los geómetras griegos adoptaron técnicas ilimitadas para el estudio de volúmenes (pirámide, esfera) o áreas (cuadratura del círculo, área del segmento de la parábola). Por otro lado, especifican la noción de una línea recta tangente a una curva. Aparecen así los primeros ejemplos de cálculo integral (áreas y volúmenes) y cálculo diferencial (tangentes). En 1635, Cavalieri creó su geometría de los indivisibles, que quería sistematizar y promover las técnicas de Arquímedes.

Las ideas más clásicas de Pierre de Fermat son fundamentales en lo que se convertirá en el cálculo integral. Pero, sobre todo por sus técnicas diferenciales, determina las tangentes a las curvas planas. Por su método cinemático, Roberval y Torricelli llegan a resultados similares. Los estudios sobre la cicloide permiten encontrar las cuadraturas de expresiones donde se mezclan funciones completas y funciones trigonométricas. Al final del xvii^mi s., con Newton y Leibniz, el cálculo diferencial y el cálculo integral aparecen realmente al mismo tiempo que se aclara la noción de función, destinada a desempeñar un papel fundamental en xviii^mi s. y xix^mi s. Aparecen nuevas técnicas: cálculo de series completas, funciones exponenciales, funciones circulares directas e inversas, logaritmos. El problema de las cuerdas vibrantes fascina las mentes de la generación de Lagrange, Bernoulli y Euler. Al principio de xix^mi s., lleva a Fourier al cálculo de series trigonométricas. Las necesidades de rigor que luego se manifiestan llevarán a los matemáticos, siguiendo a Gauss, y especialmente a Abel y Cauchy, a admitir que una serie solo tiene sentido si se ha establecido su convergencia. Cauchy define claramente las bases para el estudio de las funciones analíticas, y para ello estudia directamente las funciones de la variable compleja. Este estudio es retomado por Weierstrass, luego por un gran número de matemáticos. A xx^mi s., esta teoría se generalizó a funciones de varias variables, luego a la teoría de espacios analíticos.

Entre las funciones de la variable compleja, las más famosas son las funciones elípticas. Nacidos de la investigación de Legendre, son aplicados por Abel y Jacobi al dominio de la variable compleja, donde revelaron su importancia en el análisis, la geometría algebraica y la teoría de números. En su reorganización del análisis, Cauchy aclara la noción de integral inspirándose en las concepciones de Arquímedes; Riemann extiende esta noción a otras funciones de la variable real. Sin embargo, sus concepciones se verán profundamente modificadas mediante la “medida” introducida por Lebesgue en 1902. La generalización de esta noción y de los “espacios” sobre los que se aplica otorgará a la integración un papel muy importante en el análisis funcional y en el cálculo. de probabilidades.

El estudio de las ecuaciones diferenciales, cuyos inicios se remontan a Leibniz, y el de las ecuaciones diferenciales parciales, que se remontan tanto a d’Alembert como al problema de las cuerdas vibrantes, proporcionan durante la xix^mi s. un tema importante de investigación. Las ecuaciones diferenciales parciales, resueltas por Lagrange, son interpretadas geométricamente por Monge. La investigación sobre la curvatura de superficies también da una interpretación geométrica a las ecuaciones de segundo orden. Finalmente, el trabajo de L. Schwartz sobre distribuciones (1945) es una de las extensiones de estos estudios.