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El determinante es un número asociado con una matriz cuadrada. Este número se encuentra realizando determinadas operaciones con los elementos que componen la matriz.
Indicamos el determinante de una matriz A por det A. También podemos representar el determinante por dos barras entre los elementos de la matriz.
Determinantes de primer orden
El determinante de una matriz de orden 1 es el mismo que el elemento de la matriz en sí, ya que solo tiene una fila y una columna.
Ejemplos:
det X = | 8 | = 8
det Y = | -5 | = 5
Determinantes de segundo orden
Las matrices matriciales de orden 2 o 2×2 son aquellas que tienen dos filas y dos columnas.
El determinante de una matriz de este tipo se calcula multiplicando primero los valores constantes en las diagonales, uno principal y uno secundario.
Luego restando los resultados obtenidos de esa multiplicación.
Ejemplos:
3 * 2-7 * 5 = 6-35 = -29
3 * 4 – 8 * 1 = 12 – 8 = 4
Determinantes de tercer orden
Las matrices de orden 3 o matriz 3×3 son aquellas que tienen tres filas y tres columnas:
Para calcular el determinante de este tipo de matriz, utilizamos el Regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas inmediatamente después de la tercera:
Luego, seguimos los siguientes pasos:
1) Calculamos la multiplicación diagonal. Para ello, dibujamos flechas diagonales que facilitan el cálculo.
Las primeras flechas se dibujan de izquierda a derecha y corresponden al diagonal principal:
1 * 5 * 8 = 40
2 * 6 * 2 = 24
3 * 2 * 5 = 30
2) Calculamos la multiplicación del otro lado de la diagonal. Entonces dibujamos nuevas flechas.
Ahora las flechas se dibujan de derecha a izquierda y corresponden al diagonal secundaria:
2 * 2 * 8 = 32
1 * 6 * 5 = 30
3 * 5 * 2 = 30
3) Agregamos cada uno de ellos:
40 + 24 + 30 = 94
32 + 30 + 30 = 92
4) Restamos cada uno de estos resultados:
94 – 92 = 2
Lea Matrices and Determinants, y para entender cómo calcular determinantes de matrices de orden 4 o mayor, lea el Teorema de Laplace.
Ejercicios
1. (UNITAU) El valor determinante (imagen de abajo) como producto de 3 factores es:
a) abc.
b) a (b + c) c.
c) a (a – b) (b – c).
d) (a + c) (a – b) c.
e) (a + b) (b + c) (a + c).
2. (UEL) La suma de los determinantes indicados a continuación es igual a cero (imagen de abajo)
a) cualesquiera que sean los valores reales de ayb
b) si y solo si a = b
c) si y solo si a = – b
d) si y solo si a = 0
e) si y solo si a = b = 1
3. (UEL-PR) El determinante que se muestra en la siguiente figura (imagen a continuación) es positivo siempre que
a) x> 0
b) x> 1
c) x <1
d) x <3
e) x> -3
