Números complejos: definición, operaciones y ejercicios

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Los números complejos son números compuestos por una parte real y una parte imaginaria.

Representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y), cuyos elementos pertenecen al conjunto de números reales (R).

El conjunto de números complejos está indicado por C y definido por operaciones:

• Igualdad: (a, b) = (c, d) ↔ a = ceb = d
• Adición: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Multiplicación: (a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Unidad imaginaria (i)

Indicado por la letra I, la unidad imaginaria es el par ordenado (0, 1). Pronto:

I. i = –1 ↔ i^dos = –1

Así, I es la raíz cuadrada de –1.

Forma algebraica de Z

La forma algebraica de Z se usa para representar un número complejo usando la fórmula:

Z = x + yi

Dónde:

• X es un número real indicado por x = Re (Z), siendo llamado parte real de Z.
• y es un número real indicado por y = Im (Z), siendo llamado parte imaginaria de Z.

Conjugar un número complejo

El conjugado de un número complejo se indica mediante z, definido por z = a – bi. Así, se intercambia el signo de tu parte imaginaria.

Entonces, si z = a + bi, entonces z = a – bi

Cuando multiplicamos un número complejo por su conjugado, el resultado será un número real.

Igualdad entre números complejos

Siendo dos números complejos Z₁ = (a, b) y Z_dos = (c, d), son iguales cuando a = c y b = d. Esto se debe a que tienen partes reales e imaginarias idénticas. Así:

a + bi = c + di Cuándo a = ceb = d

Operaciones con números complejos

Con números complejos es posible realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Consulte las definiciones y ejemplos a continuación:

Adición

Z₁ + Z_dos = (a + c, b + d)

En forma algebraica, tenemos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Ejemplo:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + yo (3 + 5)
–2 + 8i

Sustracción

Z₁ – Z_dos = (a – c, b – d)

En forma algebraica, tenemos:

(una + bi) – (do + di) = (una – do) + yo (segundo – d)

Ejemplo:

(4 – 5i) – (2 + i)
(4 – 2) + i (–5 –1)
2 – 6i

Multiplicación

(a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

En forma algebraica, usamos la propiedad distributiva:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi^dos (I^dos = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi). (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)

Ejemplo:

(4 + 3i). (2 – 5i)
8 – 20i + 6i – 15i^dos
8 – 14i + 15
23 – 14i

División

Z₁/ Z_dos = Z₃
Z₁ = Z_dos . Z₃

En la igualdad anterior, si Z₃ = x + yi, tenemos:

Z₁ = Z_dos . Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)

Por el sistema de incógnitas xey tenemos:

cx – dy = a
dx + cy = b

Pronto,

x = ac + bd / c^dos + d^dos
y = bc – ad / c^dos + d^dos

Ejemplo:

2 – 5i / i
2 – 5i /. (- i) / (- i)
–2i + 5i^dos/ -I^dos
5 – 2i

Ejercicios vestibulares con retroalimentación

1. (UF-TO) Considere I la unidad imaginaria de números complejos. El valor de la expresión (i + 1)⁸ Su:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

dos. (UEL-PR) El número complejo z que verifica la ecuación iz – 2w (1 + i) = 0 (w indica que el conjugado de z) es:

a) z = 1 + yo
b) z = (1/3) – yo
c) z = (1 – i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 – yo

3. (Vunesp-SP) Considere el número complejo z = cos π / 6 + i sin π / 6. El valor de Z³ + Z⁶ + Z¹² Su:

allí
b) ½ + √3 / 2i
c) yo – 2
d) yo
e) 2i

Consulte más problemas, con una resolución comentada, en Ejercicios sobre números complejos.

Video aula

Para ampliar su conocimiento de los números complejos, mire el video «Introducción a los números complejos«

Historia de los números complejos

El descubrimiento de los números complejos se realizó en el siglo XVI gracias a las contribuciones del matemático Girolamo Cardano (1501-1576).

Sin embargo, fue solo en el siglo XVIII cuando el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) formalizó estos estudios.

Este fue un gran avance en matemáticas, ya que un número negativo tenía una raíz cuadrada, lo que incluso el descubrimiento de números complejos se consideraba imposible.

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