relación –

MATEMÁTICAS

El concepto de proposición, fundamental en lógica, tiene por caso particular el de relación, en matemáticas. Una relación está representada por un conjunto de varias letras; intuitivamente, es una afirmación sobre conjuntos.

Una teoría matemática se basa en la lista explícita de relaciones, llamada axiomas. Toda relación que se deduce de los axiomas según las reglas de la lógica toma el nombre de teorema. Se dice una relacion verdadero (en una teoría dada) ya sea un axioma o un teorema. Se dice que una relación es falsa cuando su negación es verdadera. Una relación que es a la vez verdadera y falsa se dice contradictorio. La existencia de tal relación en una teoría lleva, por supuesto, a cuestionar la lista de axiomas. Finalmente, puede haber relaciones que no sean ni verdaderas ni falsas. Tal relación se dice indecidible ; podemos agregarlo (o agregar su negación) a la lista de axiomas.

relaciones binarias

Las principales relaciones utilizadas en matemáticas son relaciones binarias, es decir, relativas a dos variables. La igualdad, la pertenencia, la inclusión son ejemplos de relaciones binarias entre conjuntos. Más particularmente, llamamos relación binaria en un conjunto E una relación relacionada con los pares de elementos de E. Tal relación a menudo se denota R(x, y), o incluso x R y.

Así, la relación x ≤ y es una relación binaria en el conjunto de los enteros naturales. Esta relación tiene las siguientes propiedades: para cualquier número natural x, x ≤ x; para cualquier par (x, y) de números naturales, la relación x ≤ yey ≤ x implica x = y; para cualquier triple (x, y, z) de enteros naturales, la relación x ≤ y y y ≤ z implica x ≤ z.

La relación de divisibilidad en el conjunto de enteros naturales distintos de cero es una relación binaria que posee propiedades análogas: para cualquier entero natural x distinto de cero, x divide a x; para cualquier par (x, y) de enteros naturales distintos de cero, la relación x divide a y; y divide a z, implica que x divide a z. Nótese que, al contrario del caso anterior, dos elementos x e y no son necesariamente comparables: puede ocurrir que x no divida a y y que y no divida a x.

Ahora sea n un entero natural distinto de cero. La relación definida por los pares (x, y) que tienen el mismo resto en la división por n es una relación binaria en el conjunto de los números enteros racionales; lo llamamos módulo n congruenciay lo anotamos: x ≡ y (mod. n).

Es claro que x ≡ x (mod. n). Además, x ≡ y (mod. n) implica y ≡ x (mod. n). Finalmente, si x es congruente con y y si y es congruente con z, entonces x es congruente con z.

Propiedades de relación

Se dice que una relación binaria R en E es reflexivo si, para cualquier elemento x de E, R(x, x) es verdadero. Decimos que R es simétrico si, para cualquier par (x, y) de elementos de E, la relación R(x, y) implica la relación R(y, x); decimos que R es antisimétrico si, para cualquier par (x, y) de elementos de E, la conjunción de las relaciones R(x, y) y R(y, x) implica x = y. Finalmente, decimos que R es transitivo si, para cualquier terna (x, y, z) de elementos de E, la conjunción de las relaciones R(x, y) y R(y, z) implica R(x, z).

Una relación reflexiva y transitiva toma el nombre de relación de pedido anticipado. Las relaciones simétricas de preorden se denominan relaciones de equivalencialas relaciones de preorden antisimétricas se denominan relaciones de orden. Sea E un conjunto ordenado, es decir un conjunto dotado de una relación de orden; decimos que E está totalmente ordenado (o que el orden es total) si dos elementos cualesquiera x e y de E son comparables, es decir, si al menos una de las relaciones R(x, y) y R(y, x) es verdadera .

Esta profusión de vocabulario, desconcertante para el profano, se traduce de hecho en una gran economía de pensamiento. De hecho, abundan los ejemplos de relaciones de preorden en todas las ramas de las matemáticas. La relación de orden canónico x ≤ y es una relación de orden total en el conjunto de los números naturales (o en el conjunto de los números racionales, o en el conjunto de los números reales). Por otro lado, la relación x < y, que no es reflexiva, no es una relación de orden. La relación de inclusión en el conjunto de partes de un conjunto es una relación de orden; lo mismo ocurre con la relación de divisibilidad en el conjunto de números naturales distintos de cero. La relación de paralelismo es una relación de equivalencia en el conjunto de rectas de un plano; la relación de congruencia módulo un entero natural distinto de cero n es una relación de equivalencia en el conjunto de los enteros racionales. La relación de igualdad entre los elementos de un conjunto es tanto una relación de equivalencia como una relación de orden; es además la única relación de preorden que es al mismo tiempo simétrica y antisimétrica.

Los métodos generales permiten estudiar simultáneamente las propiedades de todas las relaciones de equivalencia, o de todas las relaciones de orden.