Función exponencial: toda la materia

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Función exponencial es aquella cuya variable está en el exponente y cuya base es siempre mayor que cero y diferente de uno.

Estas restricciones son necesarias, ya que 1 a cualquier número da como resultado 1. Por lo tanto, en lugar de exponencial, estaríamos frente a una función constante.

Además, la base no puede ser negativa o igual a cero, ya que para algunos exponentes la función no estaría definida.

Por ejemplo, la base es igual a – 3 y el exponente es igual a 1/2. Dado que no hay raíz cuadrada de un número negativo en el conjunto de números reales, no habría una imagen de la función para este valor.

Ejemplos:

f (x) = 4X
f (x) = (0,1)X
f (x) = (⅔)X

En los ejemplos anteriores 4, 0,1 y son las bases, mientras que x es el exponente.

Gráfico de función exponencial

La gráfica de esta función pasa por el punto (0.1), ya que todo número elevado a cero es igual a 1. Además, la curva exponencial no toca el eje x.

En la función exponencial la base siempre es mayor que cero, por lo que la función siempre tendrá una imagen positiva. Por tanto, no tiene puntos en los cuadrantes III y IV (imagen negativa).

A continuación representamos la gráfica de la función exponencial.

Función ascendente o descendente

La función exponencial puede aumentar o disminuir.

Aumentará cuando la base sea mayor que 1. Por ejemplo, la función y = 2X es una función en crecimiento.

Para ver que esta función está aumentando, asignamos valores ax en el exponente de la función y encontramos su imagen. Los valores encontrados se encuentran en la siguiente tabla.

tabla de funciones exponenciales

Mirando la tabla, notamos que cuando aumentamos el valor de x, su imagen también aumenta. A continuación, representamos la gráfica de esta función.

Gráfico de función ascendente

A su vez, las funciones cuyas bases son valores mayores que cero y menores que 1 son decrecientes. Por ejemplo, f (x) = (1/2)X es una función decreciente.

Calculamos la imagen de algunos valores de x y el resultado se muestra en la siguiente tabla.

tabla de función exponencial descendente

Observamos que para esta función, mientras los valores de x aumentan, los valores de las respectivas imágenes disminuyen. Por lo tanto, encontramos que la función f (x) = (1/2)X es una función decreciente.

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Con los valores que se encuentran en la tabla, graficamos esta función. Tenga en cuenta que cuanto mayor es la x, más cerca de cero se pone la curva exponencial.

Gráfico de función exponencial descendente

Función logarítmica

La inversa de la función exponencial es la función logarítmica. La función logarítmica se define como f (x) = logLax, con La positivo real y a ≠ 1.

Donde, el logaritmo de un número definido como el exponente al que se debe elevar la base La para obtener el número X, es decir, y = logLax ay = x.

Una relación importante es que la gráfica de dos funciones inversas es simétrica en relación con la bisectriz de los cuadrantes I y III.

De esta forma, conociendo la gráfica de la función exponencial con la misma base, por simetría podemos construir la gráfica de la función logarítmica.

Función exponencial y logarítmica

En el gráfico anterior, observamos que mientras la función exponencial crece rápidamente, la función logarítmica crece lentamente.

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