Segunda ley de Kepler – Ley de áreas – Astrofísica

De las tres notables contribuciones que el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1571-1630) hizo a la astronomía moderna, la que se hizo famosa como la Segunda ley de Kepler, de hecho, el primero en ser obtenido. Meses antes de descubrir la forma precisa de las trayectorias planetarias en su primera ley, Kepler llegó a un resultado sorprendente cuando estudió las órbitas de la Tierra y Marte a partir de la extensa colección de datos que heredó del astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601).

Al buscar alguna proporcionalidad entre la velocidad orbital de la Tierra y su distancia al Sol, Kepler encontró una relación curiosa entre el área «barrida» por una línea imaginaria que conecta el planeta con el Sol y el tiempo dedicado a la trayectoria orbital correspondiente. Aplicando sus resultados a los datos de Marte, su descubrimiento, además de confirmarse, fue crucial para dilucidar el enigma de la forma de esa y otras órbitas del Sistema Solar. En sus notas, escribió: «el tiempo que tarda un planeta en describir un arco infinitesimal es proporcional a su distancia del Sol». En el lenguaje moderno, lo que ahora se llama la segunda ley de Kepler para el movimiento planetario, también conocida como «ley de área”, Puede expresarse de la siguiente manera:

La línea recta que une un planeta al Sol recorre áreas iguales a intervalos de tiempo iguales.

Figura 1. Áreas correspondientes en diferentes partes del plano orbital de un planeta.
Representación artística, no a escala. Ilustración: Emir Kaan / Shutterstock.com

En la Figura 1 se ilustra la órbita de un planeta alrededor del Sol, en la que se destacan dos áreas iguales, en verde, dentro de la elipse. En un intervalo de tiempo determinado, diga ∆t_KL, el planeta se mueve desde el punto K al punto L, y la línea imaginaria que lo conecta con el Sol barre el área KSL. En otro intervalo, ∆t_Minnesota, el planeta se mueve desde METRO los norte, y la misma línea imaginaria que lo conecta con el Sol recorre el área MSN. Aplicada a esta órbita, la segunda ley de Kepler implica que:

Como las áreas resaltadas en la ilustración son las mismas, la aplicación de la ley lleva a la conclusión de que ∆t_KL = ∆t_Minnesota, lo que significa que el tiempo necesario para que el planeta se mueva en el tramo de la órbita de K los L también es el intervalo necesario para que se mueva de METRO los norte. Como parches de diferentes tamaños, como se muestra en la figura, el hecho de que el tiempo que pasa en ellos el planeta sea el mismo denota que la velocidad orbital adquiere diferentes valores en diferentes puntos de la órbita.

Y este es el significado físico de la segunda ley de Kepler: la velocidad orbital de un planeta no es uniforme, sino que varía regularmente a lo largo de la órbita. Lo que es constante es la llamada velocidad aerodinámica, o velocidad areolar, que se define con precisión como el área barrida por la línea que une el planeta con el Sol por unidad de tiempo (matemáticamente, la cantidad representada por cada una de las fracciones en la ecuación anterior).

En la ilustración, los puntos se eligieron convenientemente para delimitar las partes de la órbita alrededor del punto de mayor proximidad del planeta al Sol (arco Minnesota, alrededor del perihelio) y el punto de la órbita más alejado del Sol (arco KL, alrededor del afelio). De la conclusión de que los intervalos de tiempo para atravesar ambos arcos son idénticos, es fácil ver que la velocidad orbital del planeta es mayor en el perihelio, cuando está más cerca del Sol, que en el afelio, cuando está más lejos.

Es importante señalar que existen interesantes analogías que hacen uso de conceptos relacionados con la gravitación o la conservación del momento angular como justificación teórica de la segunda ley de Kepler. Sin embargo, solo deben percibirse como dispositivos útiles para comprender la naturaleza física detrás de esta propiedad del movimiento planetario. Kepler, a su vez, desarrolló sus ideas en un período inmediatamente anterior al advenimiento de la mecánica newtoniana, de manera empírica, y no tenía la intención de identificar la causa de lo que encontró. Su motivación fue describir, en términos de un patrón generalizado, lo que observó en el abundante conjunto de datos que tenía sobre el Sistema Solar.

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Referencias:

HEWITT, PG Física conceptual. 10. ed. San Francisco: Pearson, 2006. pág. 199-200.

KEPLER, SO; GRANIZO, MFO Astronomía y Astrofísica. São Paulo: Editora Livraria da Physics, 2014. p. 80.

PLATILLO, AST Evolución de las ideas en física. 2. ed. São Paulo: Editora Livraria da Physics, 2008. p. 102-111.

ROY, AE; CLARKE, D. Astronomía: principios y práctica. 4. ed. Filadelfia: IoP, 2003. p. 168-169.