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LA análisis combinatorio o combinacional es la parte de Matemáticas que estudia métodos y técnicas que te permiten resolver problemas relacionados con el conteo.
Ampliamente utilizado en estudios de probabilidad, analiza las posibilidades y posibles combinaciones entre un conjunto de elementos.
Principio fundamental de contar
O principio fundamental de contar, también llamado principio multiplicativo, postula que:
«cuando un evento se compone de n pasos sucesivos e independientes, de manera que las posibilidades del primer paso son xy las posibilidades del segundo paso son y, resulta en el número total de posibilidades para que ocurra el evento, dado por el producto (X) . (y)”.
En resumen, en el principio fundamental de contar, el número de opciones se multiplica entre las opciones que se le presentan.
Ejemplo
Una cafetería vende una promoción de snack a un precio único. La merienda incluye un bocadillo, una bebida y un postre. Se ofrecen tres opciones de sándwich: hamburguesa especial, sándwich vegetariano y hot dog completo. Como opción de bebida puedes elegir 2 tipos: jugo de manzana o guaraná. Para el postre, hay cuatro opciones: cupcake de cereza, cupcake de chocolate, cupcake de fresa y cupcake de vainilla. Teniendo en cuenta todas las opciones que se ofrecen, ¿de cuántas formas puede un cliente elegir su snack?
Solución
Podemos comenzar a resolver el problema presentado construyendo un árbol de posibilidades, como se ilustra a continuación:
Siguiendo el diagrama, podemos contar directamente cuántos tipos diferentes de bocadillos podemos elegir. Así, hemos identificado que existen 24 combinaciones posibles.
Aún podemos resolver el problema usando el principio multiplicativo. Para saber cuáles son las diferentes opciones de bocadillos, simplemente multiplique la cantidad de opciones de bocadillos, bebidas y postre.
Total de posibilidades: 3.2.4 = 24
Entonces tenemos 24 tipos diferentes de snacks a elegir en la promoción.
Tipos combinatorios
El principio fundamental de contar se puede utilizar en la mayoría de los problemas relacionados con el conteo. Sin embargo, en algunas situaciones su uso hace que la resolución sea muy laboriosa.
De esta forma, utilizamos algunas técnicas para resolver problemas con determinadas características. Básicamente hay tres tipos de agrupaciones: arreglos, combinaciones y permutaciones.
Antes de conocer mejor estos procedimientos de cálculo, es necesario definir una herramienta muy utilizada en los problemas de conteo, que es el factorial.
El factorial de un número natural se define como el producto de ese número por todos sus predecesores. Usamos el símbolo ! para indicar el factorial de un número.
También se define que el factorial de cero es igual a 1.
Ejemplo
¡Oh! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Tenga en cuenta que el valor factorial crece rápidamente a medida que crece el número. Por lo tanto, a menudo usamos simplificaciones para realizar cálculos de análisis combinatorio.
Preparativos
nosotros preparativos, las agrupaciones de elementos dependen de su orden y naturaleza.
Para obtener el arreglo simple de No elementos tomados, pap (p ≤ n), se utiliza la siguiente expresión:
Ejemplo
Como ejemplo de arreglo, podemos pensar en votar para elegir un representante y un representante adjunto de una clase con 20 estudiantes. El más votado será el representante y el segundo más votado será el vicerepresentante.
Por tanto, ¿de cuántas formas diferentes se puede hacer la elección? Tenga en cuenta que en este caso, el orden es importante ya que cambia el resultado final.
Por lo tanto, la disposición se puede realizar a partir de 380 diferentes caminos.
Permutaciones
A permutaciones son agrupaciones ordenadas, donde el número de elementos (n) en la agrupación es igual al número de elementos disponibles.
Tenga en cuenta que la permutación es un caso especial de matriz, cuando el número de elementos es igual al número de matrices. De esta manera, el denominador en la fórmula de disposición es igual a 1 en la permutación.
Entonces, la permutación se expresa mediante la fórmula:
Ejemplo
A modo de ejemplo, pensemos en cuántas maneras diferentes pueden sentarse 6 personas en un banco con 6 asientos.
Como el orden en el que se sentará es importante y el número de asientos es igual al número de personas, usaremos la permutación:
Entonces hay 720 diferentes formas para que las 6 personas se sienten en este banco.
combinaciones
A combinaciones son subconjuntos en los que el orden de los elementos no es importante, sin embargo, se caracterizan por su naturaleza.
Entonces, para calcular una combinación simple de No elementos tomados de pap (p ≤ n), se utiliza la siguiente expresión:
Ejemplo
Como ejemplo, podemos pensar en elegir a 3 miembros para formar un comité organizador de un evento, entre las 10 personas que postularon.
¿De cuántas formas diferentes se puede formar esta comisión?
Tenga en cuenta que, a diferencia de las matrices, en las combinaciones el orden de los elementos no es relevante. Esto significa que elegir a María, Juan y José es equivalente a elegir a Juan, José y María.
Nótese que para simplificar los cálculos, transformamos el factorial de 10 en un producto, pero mantuvimos el factorial de 7, porque, de esta manera, se pudo simplificar con el factorial de 7 del denominador.
Entonces hay 120 diferentes formas de formar la comisión.
Probabilidad y análisis combinatorio
La probabilidad le permite analizar o calcular las posibilidades de obtener un resultado determinado en un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son las posibilidades de que salga un número en una tirada de dados o la posibilidad de ganar la lotería.
A partir de esto, la probabilidad está determinada por la relación entre el número de eventos posibles y el número de eventos favorables, que se presenta mediante la siguiente expresión:
Ser:
PENSILVANIA): probabilidad de un evento A
a): número de resultados favorables
n (Ω): número total de resultados posibles
Para encontrar el número de casos posibles y favorables, a menudo necesitamos utilizar las fórmulas estudiadas en el análisis combinatorio.
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane el premio máximo de mega-sena haciendo una apuesta mínima, es decir, apostando exactamente a los seis números extraídos?
Solución
Como hemos visto, la probabilidad se calcula por la razón de casos favorables a casos posibles. En esta situación, solo tenemos un caso favorable, es decir, apostar exactamente a los seis números sorteados.
El número de casos posibles se calcula teniendo en cuenta que se extraerán aleatoriamente 6 números, independientemente del orden, de un total de 60 números.
Para realizar este cálculo, usaremos la fórmula de combinación como se indica a continuación:
Entonces hay 50 063 860 distintas formas de generar el resultado. La probabilidad de hacerlo bien se calculará como:
Para completar tus estudios haz los Ejercicios de Análisis Combinatorio
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