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Las propiedades de los logaritmos son propiedades operativas que simplifican los cálculos de los logaritmos, especialmente cuando las bases no son iguales.
Definimos logaritmo como el exponente que debe elevarse en una base, de modo que el resultado sea una potencia dada. Esto es:
Iniciar sesiónLa b = x ⇔ aX = b, con ayb positivos y a ≠ 1
Ser,
La: base del logaritmo
B: logaritmo
C: logaritmo
Nota: cuando no aparece la base de un logaritmo, consideramos que su valor es igual a 10.
Propiedades operativas
Logaritmo de un producto
En cualquier base, el logaritmo del producto de dos o más números positivos es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de esos números.
Ejemplo
Considerando log 2 = 0.3 y log 3 = 0.48, determine el valor de log 60.
Solución
Podemos escribir el número 60 como un producto de 2.3.10. En este caso, podemos aplicar la propiedad para ese producto:
log 60 = log (2.3.10)
Aplicar la propiedad de logaritmo de un producto:
log 60 = log 2 + log 3 + log 10
Las bases son iguales a 10 y el registro10 10 = 1. Sustituyendo estos valores, tenemos:
log 60 = 0,3 + 0,48 + 1 = 1,78
Logaritmo de un cociente
En cualquier base, el logaritmo del cociente de dos números reales y positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos de esos números.
Ejemplo
Considerando log 5 = 0.70, determine el valor de log 0.5.
Solución
Podemos escribir 0.5 como 5 dividido por 10, en este caso, podemos aplicar la propiedad del logaritmo de un cociente.
Logaritmo de una potencia
En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base real y positiva es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de potencia.
Podemos aplicar esta propiedad al logaritmo de una raíz, porque podemos escribir una raíz en forma de exponente fraccionario. Así:
Ejemplo
Considerando log 3 = 0.48, determine el valor de log 81.
Solución
Podemos escribir el número 81 como 34. En este caso aplicaremos la propiedad logarítmica de una potencia, es decir:
log 81 = log 34
log 81 = 4. registro 3
log 81 = 4. 0,48
log 81 = 1,92
Cambio de base
Para aplicar las propiedades anteriores es necesario que todos los logaritmos de la expresión estén sobre la misma base. De lo contrario, será necesario transformar a todos en la misma base.
Cambiar la base también es muy útil cuando necesitamos usar la calculadora para encontrar el valor de un logaritmo que está en una base diferente a 10 y y (Base neperiana).
El cambio de base se realiza aplicando la siguiente relación:
Una aplicación importante de esta propiedad es que el registroLab es igual a la inversa del registroBa, es decir:
Ejemplo
Escribe el registro3 7 en base 10.
Solución
Apliquemos la relación para cambiar el logaritmo a base 10:
Ejercicios resueltos y comentados
1) UFRGS – 2014
Asignando log 2 a 0.3, los valores log 0.2 y log 20 son, respectivamente,
a) – 0,7 y 3.
b) – 0,7 y 1,3.
c) 0.3 y 1.3.
d) 0,7 y 2,3.
e) 0,7 y 3.
2) UERJ – 2011
Para estudiar mejor el Sol, los astrónomos utilizan filtros de luz en sus instrumentos de observación.
Admita un filtro que deje pasar 4/5 de la intensidad de la luz que incide sobre él. Para reducir esta intensidad a menos del 10% del original, fue necesario utilizar n filtros.
Considerando log 2 = 0.301, el valor más pequeño de n es igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
Para obtener más información, consulte también:
