La Geometría espacial Corresponde al área de las matemáticas encargada de estudiar las figuras en el espacio, es decir, aquellas con más de dos dimensiones.
En términos generales, la geometría espacial se puede definir como el estudio de geometría en el espacio.
Así que, al igual que el geometria plana, se basa en los conceptos básicos e intuitivos que llamamos «conceptos primitivos”, Que tienen su origen en la antigua Grecia y Mesopotamia (alrededor de 1000 años antes de Cristo).
Pitágoras y Platón asociaron el estudio de la geometría espacial con el estudio de la metafísica y la religión; sin embargo, fue Euclides quien se consagró con su obra ”.Elementos”, Donde sintetizó los conocimientos sobre el tema hasta sus días.
Sin embargo, los estudios de Geometría espacial permanecieron estancados hasta finales de la Edad Media, cuando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escribió el “prácticaGRAMOeometría y”.
Siglos más tarde, Joannes Kepler (1571-1630) etiqueta el “Esteometría”(Estéreo: volumen / métricas: medir) el cálculo del volumen, en 1615.
Para obtener más información, lea:
Características de la geometría espacial
La geometría espacial estudia objetos que tienen más de una dimensión y ocupan un lugar en el espacio. Estos objetos a su vez se conocen como «Sólidos geométricos» o «figuras geométricas espaciales«. Conozca mejor a algunos de ellos:
Así, la geometría espacial es capaz de determinar, mediante cálculos matemáticos, el volumen de estos mismos objetos, es decir, el espacio que ocupan.
Sin embargo, el estudio de las estructuras de las figuras espaciales y sus interrelaciones está determinado por algunos conceptos básicos, a saber:
Punto: concepto fundamental a todos los posteriores, ya que todos están, en última instancia, formados por innumerables puntos. A su vez, los puntos son infinitos y no tienen dimensión medible (adimensional). Por lo tanto, su única propiedad garantizada es su ubicación.
derecho: compuesto por puntos, es infinito en ambos lados y determina la distancia más corta entre dos puntos dados.
Línea: tiene algunas similitudes con la línea recta, ya que es igualmente infinita para cada lado, sin embargo, tienen la propiedad de formar curvas y nudos sobre sí misma.
Departamento: es otra estructura infinita que se extiende en todas direcciones.
Figuras geométricas espaciales
A continuación se muestran algunas de las figuras espaciales geométricas más conocidas:
Cubo
El cubo es un hexaedro regular compuesto por 6 caras cuadrangulares, 12 aristas y 8 vértices siendo:
área lateral: Cuartodos Área total: Sextodos Volumen: yyy = a3
Dodecaedro
El Dodecaedro es un poliedro regular compuesto por 12 caras pentagonales, 30 aristas y 20 vértices siendo:
El Tetraedro es un poliedro regular compuesto por 4 caras triangulares, 6 aristas y 4 vértices siendo:
Área total: Cuartodos√ 3/4 Volumen: 1/3 Ab.h
Octaedro
El Octaedro es un poliedro regular de 8 caras formado por triángulos equiláteros, 12 aristas y 6 vértices:
Área total: 2dodos√3 Volumen: 1/3 a3√2
icosaedro
El icosaedro es un poliedro convexo compuesto por 20 caras triangulares, 30 aristas y 12 vértices siendo:
Área total: 5√3 añosdos Volumen: 5/12 (3 + √5) a3
Prisma
El prisma es un poliedro compuesto por dos caras paralelas que forman la base, que a su vez puede ser triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal.
Además de las caras, la prima está compuesta por altura, lados, vértices y aristas unidos por paralelogramos. Dependiendo de su inclinación, los prismas pueden ser rectos, aquellos en los que el borde y la base forman un ángulo de 90º, u oblicuos compuestos por ángulos distintos a los 90º.
Área de la cara: Oh Área lateral: 6.ah área de la base: 3.a3√3 / 2 Volumen: Ab.h
Dónde: Ab: área de la base H: altura
Consulte también el artículo: Prism Volume.
Pirámide
La pirámide es un poliedro compuesto por una base (triangular, pentagonal, cuadrada, rectangular, paralelogramo), un vértice (vértice de la pirámide) que une todas las caras laterales triangulares.
Su altura corresponde a la distancia entre el vértice y su base. En cuanto a su inclinación, se pueden clasificar en rectos (ángulo de 90º) u oblicuos (ángulos distintos de 90º).
Área total: Al + Ab Volumen: 1/3 Ab.h
Dónde:
Alabama: Área lateral Ab: área de la base H: altura
Leer más en: Pyramid Volume.
Curiosidades
La palabra «geometría» proviene del griego y corresponde a la unión de los términos «geo» para la tierra y «métricas» para la medición, que significa «medir la tierra».
Los cálculos más comunes en geometría espacial son para determinar las longitudes de curvas, áreas de superficie y volúmenes de regiones sólidas.
Otras figuras geométricas espaciales: cilindro, cono, esfera.
Los «sólidos platónicos» son poliedros convexos conocidos desde la antigüedad clásica. Los cinco «sólidos platónicos» son: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.
Las formas geométricas son las formas de las cosas que observamos y están formadas por un conjunto de puntos.
La geometría es el área de las matemáticas que estudia las formas.
Podemos clasificar las formas geométricas en: planas y no planas.
Formas planas
Son aquellos que, cuando se representan, se insertan por completo en un solo plano. Tienen dos dimensiones: largo y ancho.
Ejemplos de
Las formas planas se pueden clasificar en polígonos y no polígonos.
Polígonos
Son figuras planas cerradas delimitadas por segmentos rectos que son los lados del polígono.
Ejemplos de
Los polígonos se nombran según el número de lados que tienen.
Entonces tenemos:
3 lados – Triángulo
4 lados – Quad
5 lados – Pentágono
6 lados – Hexágono
7 lados – Heptágono
8 lados – Octágono
9 lados – Enneagon
10 lados – Decagon
12 lados – Dodecágono
20 lados – Icosagon
no polígonos
Son formas geométricas no delimitadas por completo por segmentos de línea recta. Puede estar abierto o cerrado.
Ejemplos de
Para obtener más información, lea también sobre geometría plana..
Formas no planas
Para representar formas de este tipo se necesita más de un plano. Son figuras con tres dimensiones: largo, alto y ancho.
Ejemplos:
Las formas no planas también se denominan sólidos geométricos. Se clasifican en poliedros y no poliedros.
Para obtener más información sobre los sólidos geométricos, lea también geometría espacial.
Poliedros
Están formados solo por polígonos. Cada polígono representa una cara del poliedro.
La línea de intersección entre dos caras se llama arista. El punto de intersección de varias aristas se llama vértice del poliedro.
La pirámide, el cubo y el dodecaedro son ejemplos de poliedros.
Sin poliedros
Los no poliedros, también llamados cuerpos redondos, tienen superficies redondeadas.
Esfera, cono y cilindro son ejemplos de cuerpos redondos.
Para obtener más información, lea también:
fractal
La palabra Fractal fue creada por Benoit Mandelbrot de la palabra latina fractura, que significa irregular o roto.
Son formas geométricas en las que cada parte de la figura se asemeja al todo.
Asociada con la teoría del caos, la geometría fractal describe las formas irregulares y casi aleatorias de muchos de los patrones de la naturaleza. Por lo tanto, también se le llama geometría de la naturaleza.
Los fractales son formas geométricas de increíble belleza con patrones que se repiten sin cesar, incluso cuando se limitan a un área finita.
En geometría, los conceptos de área y perímetro se utilizan para determinar las medidas de alguna figura.
Vea a continuación el significado de cada concepto:
Área: equivalente a la medida de la superficie de una figura geométrica. Perímetro: suma de medidas de todos los lados de una figura.
Generalmente, para encontrar el área de una figura, simplemente multiplica la base (b) por la altura (h). El perímetro es la suma de los segmentos de línea recta que forman la figura, llamados lados (l).
Para encontrar estos valores es importante analizar la forma de la figura. Entonces, si vamos a encontrar el perímetro de un triángulo, sumamos las medidas de los tres lados. Si la figura es un cuadrado, sumamos las medidas de los cuatro lados.
En la Geometría Espacial, que incluye objetos tridimensionales, tenemos el concepto de área (área base, área lateral, área total) y volumen.
El volumen se determina multiplicando la altura por el ancho y el largo. Tenga en cuenta que las figuras planas no tienen volumen.
Aprenda más sobre figuras geométricas:
Áreas y perímetros de figuras planas
Verifique a continuación las fórmulas para encontrar el área y el perímetro de las figuras planas.
triángulo: figura cerrada y plana formada por tres lados.
¿Qué tal leer más sobre triángulos? Vea más en Clasificación de triángulos.
Rectángulo: figura cerrada y plana formada por cuatro lados. Dos de ellos son congruentes y los otros dos también.
Ver también: Rectángulo.
Cuadrado: figura cerrada y plana formada por cuatro lados congruentes (tienen la misma medida).
Circulo: figura plana y cerrada delimitada por una línea curva llamada círculo.
¡Atención!
π: constante de valor 3,14
r: radio (distancia entre el centro y el borde)
trapecio: figura plana y cerrada que tiene dos lados y bases paralelas, donde una es más grande y la otra más pequeña.
Más información sobre el trapecio.
Diamante: figura plana y cerrada compuesta por cuatro lados. Esta figura tiene lados y ángulos opuestos congruentes y paralelos.
Obtenga más información sobre el área y los perímetros de las figuras:
Ejercicios resueltos
1. Calcule las áreas de las figuras siguientes:
a) Triángulo con una base de 5 cm y una altura de 12 cm.
b) Rectángulo con una base de 15 cm y una altura de 10 cm.
c) Cuadrado de 19 cm de lado.
d) Círculo de 14 cm de diámetro.
e) Trapecio con base menor a 5 cm, base mayor a 20 cm y altura 12 cm.
f) Diamante con una diagonal menor a 9 cm y una diagonal mayor a 16 cm.
dos. Calcule los perímetros de las figuras siguientes:
a) Triángulo isósceles con dos lados de 5 cm y uno de 3 cm.
b) Rectángulo de base de 30 cm y altura de 18 cm.
c) Lado cuadrado 50 cm.
d) Círculo con un radio de 14 cm.
e) Trapecio con base mayor 27 cm, base menor a 13 cm y lados 19 cm.
f) Diamante con lados de 11 cm.
Vea más preguntas, con resolución comentada, en Ejercicios sobre área y perímetro.
Las relaciones trigonométricas son relaciones entre valores de las funciones trigonométricas del mismo arco. Estas relaciones también se denominan identidades trigonométricas.
Inicialmente, la trigonometría tenía como objetivo calcular las medidas de los lados y ángulos de los triángulos.
En este contexto, las razones trigonométricas sen θ, cos θ y tg θ se definen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.
Dado un triángulo rectángulo ABC con un ángulo agudo θ, como se muestra en la siguiente figura:
Definimos las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente en relación al ángulo θ, como:
Ser,
a: hipotenusa, es decir, lado opuesto al ángulo de 90º
b: lado opuesto al ángulo θ
c: cateto adyacente al ángulo θ
Para obtener más información, lea también la Ley del coseno y la Ley del Senado.
Relaciones fundamentales
La trigonometría a lo largo de los años se ha vuelto más completa, no restringida a los estudios de triángulos.
Dentro de este nuevo contexto, se define el círculo unitario, también llamado circunferencia trigonométrica. Se utiliza para estudiar funciones trigonométricas.
Circunferencia trigonométrica
El círculo trigonométrico es un círculo orientado con un radio igual a 1 unidad de longitud. Lo asociamos con un sistema de coordenadas cartesiano.
Los ejes cartesianos dividen la circunferencia en 4 partes, llamadas cuadrantes. La dirección positiva es en sentido antihorario, como se muestra en la siguiente figura:
Usando la circunferencia trigonométrica, las razones que se definieron inicialmente para ángulos agudos (menos de 90º), ahora se definen para arcos mayores de 90º.
Para ello asociamos un punto P, cuya abscisa es el coseno de θ y cuya ordenada es el seno de θ.
Dado que todos los puntos de la circunferencia trigonométrica están a una distancia de 1 unidad del origen, podemos usar el teorema de Pitágoras. Esto da como resultado la siguiente relación trigonométrica fundamental:
También podemos definir la tg x, de un arco de medida x, en el círculo trigonométrico como:
Con base en las relaciones presentadas, podemos encontrar otras relaciones. A continuación, mostramos dos relaciones importantes derivadas de relaciones fundamentales.
Los poliedros son sólidos geométricos limitados por un número finito de polígonos planos. Estos polígonos forman las caras del poliedro.
La intersección de dos caras se llama arista y el punto común de tres o más aristas se llama vértice, como se muestra en la imagen de abajo.
Poliedro convexo y no convexo
Los poliedros pueden ser convexos o no convexos. Si cualquier segmento de línea que conecta dos puntos de un poliedro está completamente contenido en él, entonces será convexo.
Otra forma de identificar un poliedro convexo es verificar que cualquier línea que no esté contenida o paralela a ninguna de las caras, corte los planos de las caras en un máximo de dos puntos.
Teorema de euler
O Teorema o relación de Euler es válido para poliedros convexos y para algunos poliedros no convexos. Este teorema establece la siguiente relación entre el número de caras, vértices y bordes:
F + V = 2 + A o V – A + F = 2
Dónde,
F: número de caras V: número de vértices LA: número de aristas
Los poliedros en los que es válida la relación de Euler se denominan eulerianos. Es importante tener en cuenta que todo poliedro convexo es euleriano, pero no todos los poliedros eulerianos son convexos.
Ejemplo
Un poliedro convexo está formado por exactamente 4 triángulos y 1 cuadrado. ¿Cuántos vértices tiene este poliedro?
Solución
Primero, necesitamos definir el número de caras y aristas. Como el poliedro tiene 4 triángulos y 1 cuadrado, tiene 5 caras.
Para encontrar el número de aristas podemos calcular el número total de lados y dividir el resultado entre dos, ya que cada arista es la intersección de dos lados:
Ahora que conocemos el número de caras y aristas, podemos aplicar la relación de Euler, así:
Por tanto, este poliedro tiene 5 vértices.
Poliedros regulares
Los poliedros convexos son regulares cuando sus caras están compuestas por polígonos regulares y congruentes. Además, el número de aristas que compiten en cada vértice es el mismo.
Debemos recordar que los polígonos regulares son aquellos que tienen todos los lados y ángulos congruentes, es decir, con la misma medida.
Solo hay cinco poliedros regulares convexos, que también se denominan «Sólidos platónicos«O»Poliedros de Platón”. Ellos son: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro.
Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 caras triangulares y 6 aristas.
Hexaedro: sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 caras cuadrangulares y 12 aristas.
Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 caras triangulares y 12 aristas.
Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 caras pentagonales y 30 aristas.
Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 caras triangulares y 30 aristas.
Prismas
Los prismas son sólidos geométricos que tienen dos bases formadas por polígonos congruentes y ubicadas en planos paralelos. Sus caras laterales son paralelogramos o rectángulos.
Según la inclinación de los bordes laterales con respecto a la base, los prismas se clasifican en rectos u oblicuos.
Las caras laterales de los prismas rectos son rectángulos, mientras que los prismas oblicuos son paralelogramos, como se muestra en la siguiente imagen:
Pirámide
Las pirámides son sólidos geométricos formados por una base poligonal y un vértice (vértice de la pirámide) que une todas las caras laterales triangulares.
El número de lados del polígono base corresponde al número de caras laterales de la pirámide.
Obtenga más información sobre el tema:
Curiosidad
Al estudiar los poliedros regulares, el filósofo y matemático griego Platón relacionó cada uno de ellos con los elementos de la naturaleza: tetraedro (fuego), hexaedro (tierra), octaedro (aire), dodecaedro (universo) e icosaedro (agua).
Ejercicios resueltos
1) Enem – 2018
Minecraft es un juego virtual que puede ayudar en el desarrollo de conocimientos relacionados con el espacio y la forma. Es posible crear casas, edificios, monumentos e incluso naves espaciales, todo a escala real, mediante el apilamiento de cubos.
Un jugador quiere construir un cubo de 4 x 4 x 4. Ya ha apilado algunos de los cubos necesarios, como se muestra en la figura.
Los cubos que aún deben apilarse para terminar la construcción del cubo, juntos, forman una sola pieza, capaz de completar la tarea.
La forma de la pieza capaz de completar el cubo de 4 x 4 x 4 es
Para saber qué figura encaja perfectamente para formar el cubo de 4 x 4 x 4, necesitamos contar cuántos cuadrados faltan.
Tenga en cuenta que las dos capas inferiores están completas, por lo que solo incluiremos más cubos en las dos últimas capas.
En la imagen de abajo, marcamos en azul los cubos que son necesarios para que el cubo esté completo.
Mirando los cubos marcados en azul, vemos que la única pieza que completa el cubo es la misma que la primera alternativa.
Alternativa: a)
2) Enem – 2017
Una cadena de hoteles tiene cabañas simples en la isla de Gotland, Suecia, como se muestra en la Figura 1. La estructura de soporte de cada una de estas cabañas se muestra en la Figura 2. La idea es permitir que el huésped se mantenga libre de tecnología, pero conectado con la naturaleza.
Tú polígonos son figuras planas y cerradas formadas por segmentos de línea recta. La palabra «polígono» proviene del griego y constituye la unión de dos términos «escuela politécnica» y «vamos«que significa» muchos ángulos «.
Los polígonos pueden ser simples o complejos. Los polígonos simples son aquellos cuyos segmentos consecutivos que los forman no son colineales, no se cruzan y se tocan solo en los extremos.
Cuando hay una intersección entre dos lados no consecutivos, el polígono se llama complejo.
Polígono convexo y cóncavo
La unión de las líneas que forman los lados de un polígono con su interior se llama región poligonal. Esta región puede ser convexa o cóncava.
Los polígonos simples se denominan convexos cuando cualquier línea que une dos puntos, pertenecientes a la región poligonal, se insertará completamente en esta región. En el caso de polígonos cóncavos, esto no sucede.
Polígonos regulares
Cuando un polígono tiene todos los lados congruentes entre sí, es decir, tienen la misma medida, se llama equilátero. Cuando todos los ángulos tienen la misma medida, se llama equi-ángulo.
Los polígonos convexos son regulares cuando tienen lados y ángulos congruentes, es decir, son tanto equiláteros como equiangulares. Por ejemplo, el cuadrado es un polígono regular.
Elementos de polígono
Vértice: corresponde al punto de encuentro de los segmentos que forman el polígono.
Lado: corresponde a cada segmento de línea que une vértices consecutivos.
Anglos: usted ángulos internos corresponden a los ángulos formados por dos lados consecutivos. Por otro lado, ángulos externos son los ángulos formados por un lado y por la extensión del lado que lo sigue.
Diagonal: corresponde al segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos, es decir, un segmento de recta que pasa por el interior de la figura.
Nomenclatura de polígono
Dependiendo del número de lados presentes, los polígonos se clasifican en:
Obtenga más información sobre los cuadriláteros.
Suma de los ángulos de un polígono
La suma de los ángulos externos de los polígonos convexos es siempre igual a 360º. Sin embargo, para obtener la suma de los ángulos internos de un polígono es necesario aplicar la siguiente fórmula:
Ser:
norte: número de lados del polígono
Ejemplo
¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un icoságono convexo?
Solución
El icoságono convexo es un polígono que tiene 20 lados, es decir n = 20. Aplicando este valor en la fórmula, tenemos:
Por tanto, la suma de los ángulos internos del icoságono es igual a 3240º.
Numero de diagonales
Para calcular el número de diagonales de un polígono, se utiliza la siguiente fórmula:
Ejemplo
¿Cuántas diagonales tiene un octágono convexo?
Solución
Considerando que el octágono tiene 8 lados, aplicando la fórmula tenemos:
Por lo tanto, un octágono convexo contiene 20 diagonales.
En la siguiente tabla, tenemos el valor de la suma de los ángulos internos y el número de diagonales de los polígonos convexos según el número de lados:
Perímetro y área de polígonos
El perímetro es la suma de las medidas de todos los lados de una figura. Así, para conocer el perímetro de un polígono, basta con sumar las medidas de los lados que lo componen.
El área se define como la medida de su superficie. Para encontrar el valor del área de un polígono, usamos fórmulas según el tipo de polígono.
Por ejemplo, el área del rectángulo se calcula multiplicando la medida del ancho por la longitud.
El área del triángulo es igual a la multiplicación de la base por la altura y el resultado se divide por 2.
Para aprender a calcular el área de otros polígonos, lea también:
Fórmula del área del polígono desde el perímetro
Cuando conocemos el valor del perímetro de un polígono regular, podemos usar la siguiente fórmula para calcular su área:
Ser:
PAG: semiperímetro (la medida del perímetro dividida por 2). La: apótema
vea también: Área hexagonal
Ejercicios resueltos
1) CEFET / RJ – 2016
El patio trasero de la casa de Manoel está formado por cinco cuadrados ABKL, BCDE, BEHK, HIJK y EFGH, de la misma zona y tiene la forma de la figura en el lateral. Si BG = 20 m, entonces el área del patio es:
a) 20 mdos b) 30 mdos c) 40 mdos d) 50 mdos
El segmento BG corresponde a la diagonal del rectángulo BFGK. Esta diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos, iguales a su hipotenusa.
Llamando al lado FG de x, tenemos que el lado BF será igual a 2x. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
Este valor es la medida del lado de cada cuadrado que forma la figura. Así, el área de cada cuadrado será igual a:
A = ldos A = 2dos = 4 mdos
Como hay 5 cuadrados, el área total de la figura será igual a:
LAT = 5. 4 = 20 mdos
Alternativa: a) 20 mdos
2) Faetec / RJ – 2015
Un polígono regular cuyo perímetro mide 30 cm tiene n lados, cada uno mide (n – 1) cm. Este polígono se clasifica como uno:
un triángulo b) cuadrado c) hexágono d) heptágono e) pentágono
Como el polígono es regular, sus lados son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Dado que el perímetro es la suma de todos los lados de un polígono, tenemos la siguiente expresión:
P = n. L
Dado que la medida en cada lado es igual a (n – 1), la expresión se convierte en:
30 = n. (n -1) 30 = ndos – n nortedos – n -30 = 0
Vamos a calcular esta ecuación de segundo grado usando la fórmula de Bhaskara. Así tenemos:
La medida del lado debe ser un valor positivo, por lo que ignoraremos el -5, por lo tanto n = 6. El polígono que tiene 6 lados se llama hexágono.
Alternativa: c) hexágono
Para obtener más información, lea también Formas geométricas y fórmulas matemáticas.
Un cuadrado perfecto o un número cuadrado perfecto es un número natural que, si tiene raíz, da como resultado otro número natural.
Es decir, son el resultado de la operación de un número multiplicado por sí mismo.
Ejemplo:
1 × 1 = 1
2 × 2 = 4
3 × 3 = 9
4 × 4 = dieciséis
(…)
La fórmula del cuadrado perfecto está representada por: n × n = a o nortedos = a. De ese modo, norte es un número natural y La es un número cuadrado perfecto.
¿Qué son los números cuadrados perfectos?
La definición de un número cuadrado perfecto se puede entender como: un entero natural positivo cuya raíz cuadrada es también un entero natural positivo.
[ width=»876″] Tabla de multiplicar y señalización de números cuadrados perfectos hasta el 15
Si tomamos la geometría como base, podemos pensar que un cuadrado es la figura que tiene los lados con la misma medida.
Por lo tanto, el área del cuadrado es l × lo l dos.
Cualquier cuadrado cuyos lados sean números enteros será cuadrados perfectos.
[ width=»870″]
Ejemplos de cuadrados: 1dos = 1 y 4dos = 16
¿Cómo calcular si un número es un cuadrado perfecto?
De la factorización de un número, si tiene una raíz cuadrada exacta y si es el resultado del cuadrado de otros números, podemos decir que es un cuadrado perfecto.
Ejemplo:
¿2704 es un cuadrado perfecto?
Para responder a la pregunta, es necesario factorizar 2704, es decir, calcular .
Un número cuadrado perfecto es aquel que tiene una raíz exacta.
Un número cuadrado perfecto impar tiene su raíz impar y un número par tiene una raíz par.
Los números cuadrados perfectos nunca terminan con los números 2, 3, 7 y 8.
Los números que terminan en 0 tienen cuadrados que terminan en 00.
Los números que terminan en 1 o 9 tienen cuadrados que terminan en 1.
Los números que terminan en 2 u 8 tienen cuadrados que terminan en 4.
Los números que terminan en 3 o 7 tienen cuadrados que terminan en 9.
Los números que terminan en 4 o 6 tienen cuadrados que terminan en 6.
Los números que terminan en 5 tienen cuadrados que terminan en 25
Otras relaciones
El cuadrado de un número es igual al producto de sus vecinos más uno. Por ejemplo: el cuadrado de siete (7dos) es igual al producto de sus números adyacentes (6 y 8) más uno. 7dos = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49. Xdos = (x-1). (x + 1) + 1.
Los cuadrados perfectos son el resultado de una sucesión matemática entre el cuadrado perfecto anterior y una progresión aritmética.
El cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.
Esta figura geométrica bidimensional está formada por:
Lados: son los segmentos de línea que forman el contorno del polígono
Vértices: son los puntos de encuentro de los segmentos de línea recta
Anglos: hay cuatro ángulos internos que suman 360º
Diagonales: son dos diagonales que conectan dos vértices no consecutivos
Observe estos elementos en el cuadrilátero de abajo.
Tipos de cuadriláteros
Los cuadriláteros principales son los trapezoides y los paralelogramos, que se diferencian por el número de lados paralelos.
Los trapezoides tienen un par de lados paralelos y se clasifican en trapezoide rectangular, trapezoide isósceles y trapezoide escaleno.
Los paralelogramos tienen dos pares de lados paralelos. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos y del mismo tamaño. Se les da nombres específicos según sus características: cuadrado, rectángulo y rombo.
Los cuadriláteros que no tienen lados paralelos se llaman cuadriláteros irregulares.
Paralelogramo
Una figura plana se llama paralelogramo cuando:
Los lados paralelos de la figura tienen la misma medida;
Los ángulos opuestos de la figura tienen la misma medida;
Sus diagonales están cortadas en el punto medio (M);
Cualquier segmento de línea (lateral) puede considerarse la base de la figura.
El área de un paralelogramo se calcula multiplicando la base de la figura por la altura. El perímetro es la suma de las medidas de los lados del cuadrilátero.
Algunos paralelogramos reciben nombres específicos, ya que tienen sus propias características. Son: rectángulo, cuadrado y rombo.
Rectángulo
El rectángulo es un cuadrilátero con lados opuestos que son paralelos y del mismo tamaño. Tienen cuatro ángulos rectos, es decir, todos los ángulos internos miden 90º.
Las diagonales de un rectángulo se cruzan en un punto y dividen la figura en dos triángulos con la misma medida.
Fórmulas rectangulares:
Las fórmulas de área y perímetro del rectángulo tienen en cuenta las medidas de la base (b) y la altura (h).
Área: A = b. H Perímetro: P = 2 (b + h)
La diagonal del rectángulo se puede calcular usando el teorema de Pitágoras. Dividiendo un rectángulo por la diagonal formamos dos triángulos rectángulos, cuya hipotenusa es la diagonal (d) del cuadrilátero.
Obtenga más información sobre el área y el perímetro del rectángulo.
Cuadrado
El cuadrado es un paralelogramo que presenta los cuatro lados con la misma medida y todos los ángulos miden 90º.
Las diagonales de un cuadrado, además de tener la misma medida, son perpendiculares entre sí.
Fórmulas cuadradas:
Como los lados de un marco son iguales, el área y el perímetro de la figura se basan en su medida (L).
Área: A = Ldos Perímetro: P = L + L + L + L o P = 4L
El rombo es un paralelogramo con cuatro lados congruentes, es decir, todos los lados de este tipo de paralelogramo son iguales. Las diagonales de esta figura son perpendiculares entre sí y por lo tanto forman un ángulo de 90º.
Fórmulas de rombo:
Para encontrar el área del rombo, es necesario dividir la figura con dos diagonales, una diagonal mayor (D) y una diagonal menor (d), que formarán 4 triángulos rectángulos.
El perímetro del rombo se calcula sumando sus cuatro lados (L), que son iguales.
Área: A = D + d / 2 Perímetro: P = L + L + L + L o P = 4L
Obtenga más información sobre el área de los diamantes.
Trapecios
Los trapezoides son cuadriláteros con un par de lados paralelos y cada lado paralelo se llama base.
Hay tres tipos de trapezoides:
Trapecio isósceles: presenta dos lados con la misma medida y dos diferentes.
Rectángulo trapezoidal: presenta dos ángulos de 90º.
Trapezoide escaleno: todos los lados de la figura tienen medidas diferentes.
Fórmulas trapezoidales:
Las fórmulas trapezoidales tienen en cuenta la base más grande (B), la base más pequeña (b), la altura (h) y los lados (L1 y yodos).
Área: A = (B + b). h / 2 Perímetro: P = B + b + L1 + Ldos
Obtenga más información sobre el área trapezoidal.
Cuadrilátero convexo x cuadrilátero cóncavo
Uno cuadrilátero convexo se clasifica así cuando la línea que une dos vértices en una fila no interseca la línea que une los otros dos vértices, es decir, la línea formada está contenida en la figura.
Ya uno cuadrilátero cóncavo, también llamado no convexo, es aquel que al formar una línea en la figura, se extiende más allá de la parte interior y pasa por la zona exterior.
Tú quads notables son los cuadriláteros convexos que tienen al menos dos lados paralelos, como el trapezoide, el rectángulo y el cuadrado.
El triángulo escaleno es un polígono que tiene tres lados con diferentes medidas. Por lo tanto, los triángulos escalenos no son polígonos regulares y no tienen un eje de simetría.
Debido a que los lados tienen diferentes dimensiones, los ángulos internos también serán diferentes. O sea, el triángulo escaleno es el formado por tres lados y tres ángulos diferentes entre sí.
El perímetro de un triángulo escaleno se calcula sumando todos los lados y el valor de la suma de sus ángulos internos, como todos los triángulos, es igual a 180º.
Área del triángulo escaleno
Para calcular el área de los triángulos escalenos usamos la misma fórmula que usamos para los triángulos en general, es decir:
Dónde,
La zona
b: medida de la base
h: medida de altura relativa a la base
Cuando conocemos las medidas de los lados del triángulo, también podemos encontrar el área usando la siguiente fórmula:
Dado que a, byc son las medidas de los lados del triángulo yp dadas por la fórmula:
p: semiperímetro del triángulo escaleno
Ejemplo:
¿Cuál es el área del triángulo escaleno representado en la siguiente figura?
Calculemos el área usando los valores de los lados. Primero, encontremos el valor del semiperímetro p:
Ahora, simplemente sustituya en la fórmula del área:
Para obtener más información, lea también el área del triángulo y el perímetro del triángulo.
Clasificación de triángulos
Además de los triángulos escalenos, también hay dos tipos. Los triángulos equiláteros son aquellos con todos los lados con la misma medida y los isósceles tienen dos lados con la misma medida.
También podemos clasificar los triángulos en función de los ángulos internos. En esta clasificación, un triángulo puede ser:
Triángulo rectángulo: cuando tiene un ángulo recto (ángulo de 90º).
Triángulo de ángulo agudo: tiene todos los ángulos menores a 90º.
Triángulo obtusangle: tiene un ángulo mayor a 90º.
Se observa que siempre que se respete la regla que define los triángulos escalenos, puede haber:
Ángulos agudos escalenos
Ángulos escalenos obtus
Triángulos rectángulos escalenos
Una cuestión matemática en la que se observa «cualquier triángulo», debe considerarse como un triángulo escaleno, excluyendo, de entrada, las propiedades presentes en otros triángulos.
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Relación de Euler
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